您好！

欧拉公式二！

离回家过年的日子越来越近了，我早就想起了妈妈做的饭菜。 虽然他们很普通，但我很喜欢他们。 再加上这几天广州一直刮风下雨。 超模根本没心思写文章，只想在床上好好睡一觉。

不过，小天又来提醒稿子了（

自从小天转正后，日子一天比一天苦）

看来还是得乖乖的写文章了。

那么今天超模就给大家讲讲被数学界誉为“数学中的天桥”的“欧拉公式”。

说起欧拉公式，应该很多人都知道：

这个恒等式也叫欧拉公式，它是数学中最迷人的公式，它把最重要的数字联系在一起 在数学中：两个超越数：自然对数的底数 pi； 两个单元：虚数单元i和自然数单元1； 也是0的人类伟大发现之一，数学家评价它是“上帝创造的公式”。

这里，我们在复变函数欧拉公式I中调用欧拉公式（至于为什么这么叫，都是因为欧拉太强大了）。

原来，除了复变函数领域，数学界的超级宗师欧拉还发现了数学界号称“数学中的天桥”的公式。 一些极其有价值的公式已经被发现，但数学界似乎从来没有想过要区分欧拉在不同领域的成就，而将所有公式统称为“欧拉公式”。 你说的“欧拉公式”不是我说的“欧拉公式”。 拉公式”。

复变函数中的“欧拉公式”（Euler’s formula I）因其包含的元素的特殊性而受到更多的关注，连小天都知道：最美的公式 数学上是欧拉公式。

当我把拓扑学的“欧拉公式”（我们称之为欧拉公式二）扔给小天：什么？欧拉公式怎么长成这样？

小天：快把我最美的公式还给我！！！

超模（一脸嫌弃，求真途中总遇到一些xxx）：……

今天超模要讲的故事主角是：欧拉公式II。

在任意正球面图上，用F记录区域数（一般情况下是 一个面），V记录顶点的个数，E记录边界（即边）的个数，则V- E F= 2，这就是欧拉定理。

英语o f 顶点：垂直。

边（或边）的英文：Edge。

英文的Face：Face。

真的，这也是欧拉公式。

虽然我们称它为欧拉公式，但首先证明欧拉公式成立的是笛卡儿（Descartes），之后才轮到欧拉。 但第一个真正给出严密证明的是20岁的柯西。

来自百度百科的证明过程：从多面体中去掉一条边，通过将去掉的面的边拉离彼此，将剩下的所有面变成点和曲线的平面网络。 在不失一般性的情况下，可以假设变形的边缘继续保持为直线段。 法线面不再是法线多边形，即使它们一开始是法线。 但是点、边、面的个数和给定多面体的个数保持一致（去掉的面对应网络外。）

不好意思，这个百度百科我实在看不懂 段解释，如果有模友可以解释清楚，记得留言，也可以去百度百科修改一下这一段。

既然没有办法像欧拉、柯西这样的数学家去思考这个问题，不聪明的超模只能用最笨的方法，一个一个地计算多面体。

(大脑正在加载.gif)

是不是很惊喜，是不是很激动，我们居然推导出了一个定理。

但是有个问题，为什么都是正多边形，其他的就不行了？

好的，我们再试一次。 为了便于理解，超模选择在立方体上多加一条线。

（这豆腐有点渣）

惊喜！ 在立方体的一个面上加一条对角线，在加对角线的同时，立方体的一个面也一分为二。 此时欧拉公式仍然等于2，欧拉公式成立。

也就是说，欧拉公式对三维图形是有效的！

啪啪啪，这时候小天朝超模丢了一个凹二十面体。

（大家可以发挥想象力）

其实这还是一个二十面体。 在保持面数和边数相同的情况下，这个二十面体选择将两个顶点合并为一个。

好难过！ 即欧拉公式变为：

V – E F = 1

欧拉公式错了吗？

是的，发现这个问题后，数学家们引入了一个新的概念：欧拉特性χ（说实话，超模们还是第一次见到）。

F V -E = χ

此时，欧拉公式V-E F不仅可以等于2和1，还可能等于其他值。

无奖问答：你认为莫比乌斯环的欧拉特性应该是多少？

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