函数公式网 高中函数 你知道吗? 所有单调序列都是收敛的

你知道吗? 所有单调序列都是收敛的

#头条创作挑战赛#

高等数学中有这么一道题,要求证明单调递增数列的上限等于数列的极限。

证明:如果{an}是递增序列,则lim ̅(n→∞)an=lim(n→∞)an。

这个问题可能是 难的是很多朋友,关键是很多人在证明完之后不明白这个定理是什么东西。 根据极限存在的充要条件,上限=下限。 可知只要上限等于极限,下限也等于极限,即数列有唯一极限,即数列收敛。 由此得出结论:递增序列收敛。

换个角度想想。 由于递增序列的上限等于极限,所以等于下限。 那么,递减序列是否有下限等于极限,从而等于上限,表明递减序列也收敛。 “单调数列收敛”的结论呢?

下面老黄就给小伙伴们分享一下这道题的证明过程:

证明:若{an}有界,则由单调有界公理,lim(n→∞)an存在,且lim ̅(n→∞)an=lim)n→∞)an。

如果{an}是无界的,则lim ̅(n→∞)an= ∞,【很显然,这里的收敛包括收敛到无穷大的类型。 数列(或函数)虽然没有上界,但也分为两种情况,一种是没有上界,不收敛于无穷大。 在这种情况下,它通常在无穷远处振荡; 另一个没有上界但收敛于无穷大]

因此,对于任意正数M,{an}中有无穷多个大于M的项,

设aN>M , 从{an}的增加, 当n>N, an> aN>M,

∴lim(n→∞)an= ∞=lim ̅(n→∞)an, 求证!

同理,也可以证明递减序列的下限等于极限。 但是我们不需要重复上面的过程。 只要{bn}是递减序列,再取其相反序列{-bn},就是递增序列。 由上述证明的结果可知,lim(n→∞)(-bn)= ∞=lim ̅( n→∞)(-bn)。

从 lim(n→∞)(-bn)=-lim(n→∞)bn 和 lim ̅(n→∞)(-bn) =- lim(n→∞)bn。

可以得到lim(n→∞)bn= lim(n→∞)bn的结论。

综上所述,单调级数为:lim ̅(n→∞)an= lim(n→∞)an=lim(n→∞)an。

直观上是 据说这是因为单调序列只有在n趋于无穷大时才可能有无限多的序列项。

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