每个人都知道连续函数。 一般我们接触到的连续函数都可以在某个区域找到。 在数学的发展中，数学家们猜测有没有处处连续处处不可微的函数？ 一般函数是局部放大，放大到一定程度后，会是一条平滑的曲线。 只要顺利，就一定会引导。 那么一个处处连续不可微的函数，无论怎么放大，都肯定不会出现光滑的曲线。 后来，这样的函数被数学家发现了。 这里是Van Der Waerden 1930年发现的函数，用一个无限级数表示：

首先，证明这个无限级数在从 负无穷大到正无穷大。

这个证明需要用到函数项级数中的两个定理。 第一个是函数项级数一致收敛的Weierstrass判别法。 这是对一致收敛的解释。

一致收敛实际上是指函数项序列在各点的收敛速度是一致的，收敛速度与函数点的位置无关。

一致收敛Weierstrass判别法：

证明略。 第二定理是对于一致收敛的函数项级数，极限运算和无穷和运算的顺序可以互换。

连续性定理：

证明省略。 有了这两个定理，我们继续证明这个无限级数在负无穷大到正无穷大的区域是连续的。

接下来是最关键的证明部分：

当第m个小数点为0、1、2、3、5、6、7、8时，小数点加1 到数字，使得原来的小数位数大于等于5，经过这个操作，小数位数仍然大于等于5； 原来的小数位数小于5，经过这个操作，小数位数仍然小于5。

这个极限不存在，即函数的导数不存在。

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其实在现实生活中，有这样的函数处处连续，处处不可微，比如海岸线 . 首先，海岸线是连续的。 从地图上看，海岸线是弯曲的，并不平坦。 如果我们尝试放大找到一条平滑的曲线，我们去海边观察海岸线，我们会发现地图上没有显示的皱纹更多。 不管怎么放大，曲线上总有皱纹。 相反，生活中很难找到一条理论上平滑的曲线。 如果你用光滑的玻璃放大它，你会发现它不是平的。 任何平面都有粗糙度，皱纹只是常态。