函数是数学的核心概念之一。 许多重要的数学理论都是围绕函数发展起来的，而调和函数就是这样一种常见而重要的函数。 它们出现在数学的各个方面，在物理学中也有重要的应用。 可以说，调和函数不仅是一个重要的研究对象，而且还是一个强大的数学工具。 今天我们就简单介绍一下调​​和函数，从而窥探数学的奥秘。

我们很难追溯调和函数的具体起源，但至少在19世纪，调和函数已经是一个重要且广泛使用的数学概念。 那么调和函数是什么？ 首先我们必须定义拉普拉斯算子：

拉普拉斯算子的作用是求出不同自变量的二阶偏导数，然后将它们相加得到一个关于偏导数的函数，调和函数就是那些经过后等于零的函数 拉普拉斯算子 一个函数，即满足以下条件的函数：

值得注意的是，在定义一个调和函数之前，我们要求这个函数至少在R^n中的某个区域 （也可以是实数空间R^n本身 ）上有二阶偏导数），常要求n大于等于2。

那么我们为什么要研究调和函数呢？ 简而言之，因为它的性质非常好，所以它可以用于许多事情。

调和函数第一个惊人的性质是它的解析性，也就是说调和函数域内的每一点都可以通过泰勒无限展开，也就是说调和函数是光滑的， 或无限可微。 为什么说这个性好呢？ 注意，在定义调和函数的时候，我们只要求它有一个二阶偏导数，但实际上这样的定义只需要很少的要求就可以保证函数的平滑性，可以说是化衰减为神奇。

但是解析性并不是调和函数的本质特征。 事实上，调和函数最本质的性质就是满足所谓的均值原理。 而为了得到调和函数更好的性质，一般我们会在有界区域中考虑这些问题，也要求函数具有连续的或可导的边界值。 那么，什么是均值原则呢？ 简单来说，函数u在x点的值等于函数在以x为中心的球形区域内的体积积分或面积积分的平均值（可以通过简单的积分计算证明，两个积分 均值是等价的）：

为什么均值原理是调和函数最本质的特征？ 这是因为调和函数的几乎所有重要性质都可以从中值原理推导出来，比如上面提到的解析性质。 更重要的是，平均特性完全表征了调和函数，即：

调和函数的另一个重要性质是极值原理：

如果调和函数不是常数，则不能取里面的最大值或最小值。

根据极值原理，我们马上可以知道调和函数完全由它的边界值决定：

如果我们从a看调和函数 更高的视角，也就是说定义△u=0看成一个偏微分方程（准确的说是一个拉普拉斯方程），那么调和函数就是这个方程的解，极值原理告诉我们在 在给定边界值的情况下，解是唯一的。 其实，如果区域足够特殊（一般来说就是一个球体），我们可以直接通过边值条件求解，这就涉及到了泊松积分，而泊松积分又和格林函数有关。

格林函数起源于物理学中的场论。 具体的定义我们就不说了，它的作用就是表示这个方程有边值的解。 事实上，利用格林函数和拉普拉斯方程的基本解，我们得到调和函数的格林表示：

由于被积函数是光滑的，从格林表示我们再次得到调和函数的光滑度 性别。 当面积为球体时，由于面积特殊，我们可以利用几何中的反演方法得到对应格林函数的表达式，因此可以直接通过边界值求解调和函数，也有 调和函数的边界值泊松积分表达式：

此外，调和函数还有一个很好的性质，就是调和函数序列的良好收敛性。 在研究数学分析时，级数和函数序列的收敛性是我们很关心的一个概念，因为好的收敛性可以保证极限函数也有一些好的性质。 从我们之前提到的平均值原理，我们可以发现调和函数序列具有一些很好的收敛性：

一致收敛的调和函数序列的极限函数也是调和的。

可以进一步证明：

从我们上面所说的可以看出，和声函数确实有很多其他函数所没有的好的性质 ，所以调和函数成为很多数学学科常用的工具，比如我们说过的偏微分方程理论，数学物理方法等等。 不仅如此，“调和”的概念不再局限于实数空间上的函数，它可以很容易地扩展到微分流形，定义和研究流形上的调和函数。 不仅如此，“和”还可以用于更一般的微分形式，这与著名的“霍奇理论”有着深厚的联系。 当然，调和函数的应用和推广不仅限于所说的，但可以肯定的是，它在数学中确实起到了非常重要的作用。