等周不等式是数学中一个非常经典的问题。 在研究它的过程中，逐渐发展出许多重要的数学思想和方法。 经过不断改进，这些思想和方法也在其他相关领域发挥了作用。 产生了巨大的影响。 总之，等周不等式虽然经典，但并没有过时。 现在它已经发展成为数学中的一个重要课题，其研究也在不断取得新的进展。

等周不等式首先出现在平面的情况下，也是我们最熟悉的情况，即：

由给定长度（除端点外不相交）的简单闭合曲线围成的图形中，圆的面积最大。

等周不等式的内容有 其实在古希腊时代的数学中就已经建立起来了，这是众所周知的，但是限于知识层面，这个结果只是一个猜测，但是这个猜测已经有将近两千多年的历史了！ 在这个过程中，各种证明陆续出现，但最后都发现都不严密。 虽然没有严格的证明，但是等周不等式的结果太漂亮了，以至于当时很多数学家都把它作为正确的结果。

瑞士数学家Jakob Steiner是历史上第一个在这个问题上迈出实质性一步的人。 他用对称的方法证明：

如果等边不等式成立，那么这种图形只能是圆。

Steiner 使用的是纯粹的几何思想，听起来还是很简单。 按照施泰纳的想法，如果一个平面图形有一个“凹”的部分，那么在不改变周长的情况下，将这个部分对称化，就可以扩大图形的面积。 同时，如果图形不对称，那么也可以通过不改变周长的对称化使其对称。

事实上，施泰纳的想法是完全正确的，尤其是“凸化”的第一个想法，至今仍是数学中的一个重要方法。 原因是它上面的凸集和凸函数有很多好的性质。

但在施泰纳那个时代，分析（或微积分）并没有严格的基础，所以他的证明还不能说是完全严密的。 对于数学，直觉的想象永远不能替代严格意义上的证明。 最终，还是“现代分析之父——魏尔斯特拉斯”为这个千年数学难题最终画上了圆满的句号。 他在分析中使用变分法的思想严格证明了平面内的等周不等式，弥补了Steiner证明的松散性。

Weilstrasse

1902年，德国著名数学家赫尔维茨将等周期不等式表示为周长与面积的不等式关系，即：

其中，A表示 区域的面积，L代表边界的周长。 这就是“等期不平等”这个名字的由来。 值得一提的是，赫尔维茨顺便用傅里叶级数给出了等周不等式的纯解析证明。

广义欧几里德空间

在等周不等式的平面情形被证明后，数学家们猜测在任意维数的欧几里德空间中也是如此，但此时的边长为 用封闭区域的面积代替，有一个更一般的等周不等式：

其中per表示区域的表面积，vol表示区域的体积，n是 空间维度。 特别地，vol(B1)是半径为1的单位球体的体积，等价条件与平面相同，即当且仅当面积为标准球体时。

但是随着维数的增加，情况就比平面要复杂的多了。 幸运的是，Steiner 的对称思想在这种情况下仍然有效。 Schmidt（1949）、Baebler（1957）、Hadwiger（1957）等人在对区域作了一定的限制后（如区域的凸性和边界光滑的假设），相继证明了上述等周不等式。 对于一般情况，即抛开边界平滑的假设，此时的情况变得异常复杂，因为失去了平滑之后，之前的分析工具就没有用了。

要克服光滑度损失带来的困难，必须找到新的数学工具，而当时兴起的几何测度论正好可以应用于一般的等周不等式。 最后，通过证明Brunn-Minkowski不等式，证明了广义等周不等式。 这项伟大的工作分别由费德勒 (1969) 和奥瑟曼 (1978) 完成。 从此，欧氏空间中经典的等周不等式彻底终结。 费德勒作为几何测度论的先驱之一，在其巨著《几何测度论》中总结了自己的诸多成就，该书也成为几何测度论领域最权威的参考书。

Cartan-Hadamard流形

数学总是与时俱进，等周期不等式也不例外。 70年代后，几何大师格罗莫夫和奥宾推测等周期不等式可以推广到更一般的嘉当-阿达玛流形（Cartan-Hadamard manifold，即非正曲率的完全单连通黎曼流形，欧氏空间为 最简单的情况之一）。 在随后的几十年里，相继出现了一些相关的零星结果，这些结果都是在极低维数（≤4）的情况下得到证明的。

Gromov

在这些结果中，不得不提的是Kleiner在1992年证明的三维和四维情况，他推广了Cartan-Hadamard流形中的实现结果 Tainer 的对称化将等周不等式的证明完全归于凸区域，大大降低了这个问题的难度。 但是高维的情况还是很困难的，就像欧氏空间的高维情况一样，因为失去了表面的光滑度，所以如何找回失去的光滑度是解决这个问题的关键。

终于在不久前的2019年10月，两位美国数学家Ghomi和Spruck利用Kleiner的思想将问题简化为具有一定光滑度的凸曲面（从而可以定义曲面的曲率）终于 ，通过估计曲面上高斯曲率的面积积分（一般称为曲面的总曲率），最终完成了等周不等式的证明，进一步提高了等周不等式的深度。

Ghomi 和 Spruck 的论文

结论

数学中很少有像等距不等式这样可以持续两千多年的问题。 很多数学思维方法都源于它，数学内外的很多重要成果都是因为它而实现的。 可以说，等距不等式是取之不尽、用之不竭的巨大数学宝库。 也许等周不等式的重要性在于它与数学中重要的“对称性”和“最大最小化”密切相关。 除了我们上面介绍的几种情况，等距不等式在很多其他情况下也是成立的。 例如，当空间为球体时，等周不等式在更一般的测度空间中也有对应的表达式。 即使在物理学中，等周不等式也有重要的应用，例如可以用来研究最小作用量原理。

对于数学来说，等周期不等式不仅仅是一个结果。 它已经发展成为一种思想和方法，推动着许多领域的不断进步。 我们有理由相信，等周期不等式将继续在数学中发挥重要作用，延续两千多年的辉煌。

等周期不等式专着