中学的《几何》，甚至小学的《算术》，我们都知道，半径为R的圆的周长为C=2οR，其中Dž是圆的比值，即a 持续的。
那么这个圆的周长公式是怎么得到的呢？
1。 极限思想和方法在定义圆的周长中的应用
我们会用直尺测量线段的长度，所以我们也会测量多边形的周长 长，所以多边形的周长是已知的。
但是，圆的周长是一条闭合曲线，不能直接用尺子测量它的长度。
图（一）
一个新的问题出现了：圆的周长是多少？ 即圆的周长如何定义？ 这是计算圆周长的基础。
圆的周长是一个未知的新概念。
我们知道，未知的新概念必须建立在已知概念的基础上。
那么如何借助已知的多边形周长来定义圆的周长呢？
图（二）
我国古代杰出数学家刘徽所创的“切圆术”，就是利用一系列内接正多边形的周长序列 圆的周长定义圆的周长。
方法是：
先作一个内接圆的正六边形，然后平分每条边对应的圆弧，作一个内接圆的正十二边形，如 下面用同样的方法，继续内接一个正二十四边形内接圆，和一个正四十八边形内接圆……如图（3）。
图（3）
显然，无论正多边形有多少条边，每个圆内接的正多边形的周长是已知的。 然后，得到一系列圆的内切正多边形的周长序列：
图(4)
一般术语
图(5)
p>
表示第n次的内切正圆
图(6)
多边形的周长。
那么这一系列圆的内接正多边形和圆周是什么关系呢？
刘辉说：“越砍越少，一砍再砍，一直砍到砍不动，就融入这个圈子，什么都不损失。”
图（7）
显然，当一个圆的内接正多边形的边数无限乘时，这一系列圆的内接正多边形将无限趋向于接近这个 圆圈，也就是他们的极限位置，就是这个圆圈。
从内接正多边形的周长出发，当n无限增大时，这一系列圆的内接正多边形的周长序列
图（7）
会逐渐稳定在一定的数L。换句话说，就是“越切越细”，用圆的内接正多边形的周长来近似圆的周长，圆的周长“输得少”，当“ 周而复始，切不可切”，即当一个圆的内接正多边形的边数无限增加时，这一系列圆的内切正多边形的极限位置“与圆相吻合” ，此时这一系列圆的内接正多边形
图（8）
稳定在一定数L，L应该是圆的周长。
只有在无限的过程中，才能真正做到“万无一失”。
根据上面的分析：
圆的周长可以定义如下：若正多边形的内接圆的周长是一系列
图(9)
p>
稳定在某个数“L”（当n无限增大时），则称“L”为圆的周长。
因此，在无限过程中，曲线形状的周长是由直线形状的周长序列得到的。 这就是极限的思想和方法在圆的周长定义上的应用。
二、数列的极限
定义：假设数列{an}，a是常数。 如果对于任何ε > 0，总有一个自然数N，并且对于任何自然数n > N，都有
|an – a| <ε,
那么它 称为序列{an}的极限为a（或a为序列{an}的极限）或序列{an}收敛于a（{an}为收敛序列），表示为
图(10)
如果数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。
ε——N语言定义序列的极限定义：
图(11)
例1，证明
例1图(1)
证明
例1图(2)
解为n > 1/ε -1 。 取 N = [ 1/ε -1 ] 。 因此，
例1图（3）
收敛序列的性质：
定理1，（唯一性）如果序列{an}收敛， 那么它的极限是唯一的。
定理2.（有界性）如果数列{an}收敛，则数列{an}有界，即
定理2图
定理3，（保序）
定理3图
收敛序列的四种算术运算
定理4，如果序列{an}和{bn } 都收敛，则和数列{an bn}也收敛。
定理 5. 如果序列 {an} 和 {bn} 都收敛，则乘积序列 {anbn} 也收敛。
定理6.如果数列{an}和{bn}都收敛，且bn≠0，且bn的极限不等于0，则商数列{an/bn}也收敛 .
收敛数列的四种算术运算图
收敛数列的判别法
定理7，（两边定理）设{an}，{bn} , { cn} 是三个数的序列。
定理7图
公理（实数的连续性）单调有界数列存在极限。
定理8，（柯西收敛准则）
定理8图
三、函数的极限
1、当x → ∞，函数f(x)的极限
定义：设函数f(x)定义在{x||x|>a}，b为常数。
函数极限图（二）
注：当自变量‖x‖无限增大时，有两种情况：一种是x→-∞； 另一种是x → ∞，极限的分析语言表达不同。
函数极限图（三）
例2，证明
例2图（一）
证明：
例2 图(2)
解为x < lgε（限于0 < ε 0。所以，
例 2 图(3)
2. 当x→a时，函数f(x)的极限
定义：设函数f(x)在邻域
函数极限图(1)
函数极限图（二）
则称函数f(x)（当x→a时）有极限，极限为b，或者b为函数的极限 a中的f(x)，表为
函数极限图(3)
这是函数在一点的极限 ε——δ的定义。
注：函数f(x)在a处的极限与a左右极限的区别如下所示
函数极限图(4)
例3、证明
例3图(1)
证明：
例3图(2)
解是 ‖x – 1‖ < ε/2 ，取 δ = ε/2 。 于是，
例3图(3)
