#头条创作挑战赛#

老黄对三角函数的全套幂积不定积分公式的推导也逐渐告一段落。 越到后面越难。 这次老黄将从一个正割余割次方积的不定积分的递推公式入手，推导出两个指数中至少有一个为偶数的积分公式。 老黄在这个公式上下了不少功夫，可惜看重知识的人太少了。 官方也选择了完全无视！

这组公式完全是从余弦和正弦的幂积不定积分递归公式演化而来的。 余弦和正弦的幂积不定积分记为I(m,n)，其中m是余弦的指数，n是正弦的指数。 它的递归公式在老黄之前的很多作品中都有分享。 正割余割的幂积不定积分实际上是余弦和正弦的幂积在指数为负时的不定积分，即I(-m,-n)。 记为J(m,n)。

当m≠1时，被积函数乘以sinx，再除以sinx，cscx的指数加1，(secx) ^msinx其实就是 (secx)^(m-1) /(m-1)的导数可以加微分。

然后对得到的不定积分应用分部积分法，再计算微分部分，使m除以2的次方，n的2次方。

在这种情况下，只要正割是偶次方，我们就可以不断地降低m的次方直到为零，从而得到最终的公式形式。

同理，当n≠1时，可以将被积函数乘以一个cosx，再除以一个cosx，secx的指数加1，(cscx)^ncosx其实就是-(cscx) ^(n-1)/(n-1)的导数也可以加到微分上。 接下来依然是用分部积分法，然后计算微分，使n的2次方，m的2次方。

同样的，只要 余割的指数为偶数，则可以通过不断减小n的次方直至为零，得到最终的公式形式。 综上所述，只要正割和余割的指数中有偶数，将偶数指数减为0就可以得到公式的最终形式。

上图是公式形式 当 m 为偶数时。 其中，余割正整数次方的不定积分也有公式，在《老黄学高数》系列学习视频第268、275讲有介绍。

用这个公式做一道例题：例1：求∫(secx)^4*(cscx)^3dx。

例题的答案已经过测试 老黄。

上图是余割指数为偶数时推导的积分公式。 《老黄学高数学》中介绍了正割正整数次方的不定积分连同余割相关公式。 再看一个例子：

例2：求∫(secx)^3*(cscx)^6dx。

当然，如果正割和余割的指数是偶数 ，我们有两个公式可以选择，可能会得到两个完全不同的结果。 我们一般选择较小的偶指数power down，这样会容易很多。 而当两个指数偶数相等时，两个公式得到的结果在形式上会很相似，但在细节上还是有很大差异的。 最有意思的是，这时候可以得到4次正割与余割幂之差的不定积分公式。

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