作者：胡作轩（中国科学院系统科学研究所）

克莱因1849年4月25日生于德国杜塞尔多夫； 鲁特，数学家，1925 年 6 月 22 日逝世于德国哥廷根。

Felix Klein 出生于德国莱茵河地区的一个普鲁士家庭。 他的祖父是铁匠，父亲是州长的私人秘书。 母亲出生在亚琛的一个工业资本家家庭。 1857年秋，克莱因进入天主教文科高中接受了8年的片面文科教育。 直到在朋友家，他才开始接触到一些化学、植物学、动物学、天文学和工业技术方面的知识。 初步知识。 1865年秋，他进入波恩大学学习。 第一年，他上的数学和物理课不多，主要是植物学。 他虽然听过R. Lipschitz的初等数学课程，但基础知识薄弱，既无法让他理解数学，也无法激发他对数学的兴趣。 1866 年复活节，他成为 J. Pluckel 的助手，帮助他准备实验。 普吕克原本是一名数学家，因为受到J.施泰纳的排斥影响，转向了实验物理学。 普卢克尔使他对数学和物理产生了兴趣。 这时，普吕克继续他对解析几何的研究，延续他之前的工作，试图建立以直线为元素的空间解析几何。 他正在写他的“基于使用直线作为空间元素”。 空间的新几何学”。克莱因积极协助这项工作，并在工作过程中逐渐丰富了自己的知识。1868 年 5 月普吕克去世后不久，这部作品只完成了第一卷。在普吕克尔的监督下，克莱因写下了他的著作 博士论文《将线坐标的一般二次方程变换为正则形式》，并于 1868 年 12 月 12 日获得博士学位。

1869 年初，克莱因离开波恩前往哥廷根协助 A. Klebsch 整理普吕克的遗作 着作并出版了他的《新空间几何学》第二卷。他在哥廷根从克莱布施学习了不变理论和光学，并完成了他的重要论文之一，发现一阶和二阶线性复形与库默面有关。中心 当时的数学博士在柏林，所以克莱因于 1869 年 8 月底去了柏林。在这里，他结识了 S. Li，两人成为终生挚友。 与来自奥地利的 O. 合作。 Stolz，来自 H. I. Lobachevsky 的非欧几何学。 1870年2月，他在K.魏尔斯特拉斯研讨会上，汇报了A.凯莱在射影距离方面的工作，并提出将凯莱的工作推广到非欧几何，遭到魏尔斯特拉斯的批评。 1870年4月，克莱因和李一起前往巴黎，并在《巴黎科学院院刊》上发表了他们在柏林合作的论文。 该论文提出了特定变换下的不变性质，成为后来各自研究的出发点。 Li研究的是所谓的连续变换群，而Klein研究的是离散变换群。 在巴黎，Lee 和 Klein 结识了法国数学家 C. Jordan 和 G. Dab。 当时，乔丹的《代数方程与代数理论》刚刚发表，达贝也刚刚完成逆几何的研究，这对他们后来的研究产生了深远的影响。 不久，普法战争爆发，克莱因赶回德国应征入伍，编入波恩急救团，参加了9月1日至2日在梅斯和色当的战斗。由于 因感染伤寒被送回家，直到11月中旬才痊愈，1871年元旦第二次来到哥廷根，1月7日取得教书资格。 在夏天与 Stolz 的多次讨论中，越来越清楚非欧几何是射影几何的一部分。 8月发表第一篇论文《论所谓非欧几何》，遭到哲学家的批评和数学家的攻击。 这促使他更深入地研究几何学的基础知识。

1872年10月经克雷布施推荐，他赴埃尔兰根大学任正教授。克雷布施不久病逝，接替克雷布施的学术研究和组织工作。 他把克莱布什的朋友和学生吸引到他的身边，接任他的《数学年鉴》的编辑，并协助编辑克莱布什的讲义。 在大学理事会上，他提出了著名的Erlangen计划“最近几何研究的比较研究”。 在埃尔朗根时期，克莱因仍然教授几何，但“遇到的学生人数极少，环境没有研究氛围”让他非常失望。 然而，与朋友和同事的交流大大拓展了他的视野，他的研究工作也从几何扩展到代数和分析，与国外同行的交流也更加频繁。

1873年4月，克莱因决定去英国参加英国科学促进会召开的会议。 为此，他学习了英语。 8月中旬，他经汉堡、爱丁堡前往布拉德福德，在那里克莱因不仅见到了他期待已久的凯利和J.J． Sylvester，还结识了 R. Bauer 和 W. K． 克利福德。 鲍尔的螺旋线理论和克利福德的工作对克莱因后来的工作产生了很大的影响。 在会议期间，他第一次见到了伟大的英国物理学家 C. Maxwell 和 P. G． 泰特，他对英国的数学物理学印象深刻，后来多次介绍到德国。