19世纪初，柯西发展了极限的概念并取得了很大的成果。 与其他地方一样，柯西对极限、连续性和导数的定义逐渐在法国得到普遍采用。 此外，他在证明中使用的定义，特别是中值定理的各种形式的使用，使得分析不再是对一些具有特殊性质的量（无穷小量）的符号运算，而是使用不等式的运算。 的估计就是这样一门研究无限过程的科学。

在某些方面，可以说柯西最大的贡献在于他明确的定义。 对于早期的作者来说，无限级数的和是一个有点模糊的概念，有时用收敛论证来解释，有时被视为级数所来自的函数的值（就像欧拉不时做的那样） ). 柯西宣称无限级数的和是其部分和序列的极限。 这是将微积分和分析的基础转移到基于实数概念的重要一步。 这种趋势最终成为主导，通常被称为“分析的算术化”。 类似地，连续函数现在是具有“变量的无限小增加导致函数本身的无限小增加”属性的函数。 上面的例子说明柯西并没有逃避无穷小，也没有进一步分析无穷小。 他对极限的定义现在似乎是一种对话式的、启发式的：

如果一个变量指定的值无限接近一个定值，使它和这个值之间的差值尽可能小，这个定值被称为所有其他值的极限。 因此，例如，无理数是许多分数的极限，这些分数给出的值接近和接近无理数。

按照今天的标准，这些想法并不完全严格，但柯西可以使用它们为分析中的各种基本过程提供统一的基础。

对于无穷小量的应用，出现在他对连续函数的定义中。 假设一个函数f(x)定义在实直线的某个有限区间上并且是单值的，那么在这个区间内取任意值x_0。 如果这个值增加到x_0+a，函数值也会改变一个量f(x_0+a)-f(x_0)。 若此区间内有任何x_0，则f(x_0+a)-f(x_0)同时无限趋近于0。 柯西说这个函数在这个区间上是连续的。 换句话说，柯西定义的连续性是一个区间上的性质，而不是一个点上的性质，这本质上意味着自变量在这个区间上的无穷小变化会导致函数值的无穷小变化。 柯西认为连续性是函数在区间上的一个属性。

这个定义强调了函数值的跳跃对于理解函数的重要性，柯西早些时候在他关于微积分基本定理的工作中遇到过这种情况。 柯西在 1814 年关于定积分的论文中说：如果函数 Φ(z) 在 z=b’ 和 z=b” 处连续增加或减少，则积分