在上一节中，我们提到了逻辑上的一个巨大问题。 牛顿流算中的变量o或莱布尼茨的无穷小dx，在同一过程中有时为0有时不为0，始终困扰着数学专家研究微积分的本质，最终引发了第二次数学危机。 最激烈的批评是英国哲学家乔治·伯克利，克罗恩主教，他的观点很简单：即使微积分的结果是正确的，但基础薄弱，结果是没有意义的。 好吧，从哲学上讲，它很有道理，确实无法反驳。

为了解决这个问题，达朗贝尔、拉格朗日等著名数学家试图对无穷小量给出一个合理的解释。 达朗贝尔提出极限概念，拉格朗日试图把一般函数展开为无穷级数，两者都避免使用无穷小的概念，但都以失败告终。 直到19世纪初，法国数学家奥古斯丁-路易斯柯西借用了极限的思想，将他所有的微积分都建立在极限思想的基础上，取得了巨大的成功。

与达朗贝尔的模糊极限概念不同，柯西明确给出了极限的定义：“当一个变量的值依次无限趋向于一个定值时，该变量的值与该定值的差值最终为它 可以随意变小，这个固定值称为所有其他值的极限。” 当这个变量的极限为0时，我们称它为无穷小量。 如果一个数列或函数(at)有极限且为常数，则称该数列或函数(at)收敛，否则为发散，现代符号记为或。

柯西认为无穷小量不是0，也不是某个数，而是一个变化的数，求导本质上是极限运算，即因为o不为0，自然可以 用作除数。 我们用极限表达式重写上一节流数法得到的有理幂函数的导数：

这时候o还是不为0，但是经过limit计算，后面的除了第一项之外的所有项的limit都为0，所以

，这个逻辑上是有道理的。

不仅如此，柯西认为积分本质上是一种极限计算。 如果把区间分成n个相同的小区间，每个小区间对应的自变量为 ，区间为 ，那么区间内的定积分可以理解为每个小区间的面积之和，即

举个例子，比如求x轴围成的面积：

第一项与n无关，后两项为0，因此 ，这与第一节牛顿利用二项式定理得出的结论是一致的。