无法用语言表达
只能理解
自然对数的底数 e 是一个不可思议的常数。
lim (1 1/n) n 定义的一个常数，其实在数学和物理中经常出现，可以说是无处不在。 这着实让我们不得不对这个神奇的数学世界产生敬畏之情。
每当谈到e，一个必须提到的公式就是欧拉恒等式——号称世界上最美的公式。
数学中最基本的五个常数——0、1、pi、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最基本的两个符号等号和加号， 通过一个简单的身份连接在一起，这确实令人印象深刻。
这个方程有一个几何直观的解释。 实数可以用实数轴上的向量表示，旋转这个向量相当于乘以一个虚数i。 以此为基础，建立以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。 实单位向量，每逆时针旋转π/2，可分别得到结果1,i,-1,-i,1。 即转4圈后回到原位。 而当实单位向量保持长度不变，旋转角度θ时，得到的向量为：cosθ isinθ。 根据欧拉公式eiθ=cosθisinθ，可知eiθ表示将实单位向量1旋转角度θ得到的向量。 所以eiπ表示单位向量逆时针旋转π，显然是-1。
增长定律
这个世界上有很多东西都满足这个变化定律：增长速度与变量本身的大小成正比。 例如，当放射性元素衰变时，衰变率与存在的放射性物质的数量成正比； 在资源无限的社会中，出生率将（大约）与现有人口成正比，等等。 而这种变化规律所确定的解，则用以e为底的指数增长来描述：若x的变化率等于变量x本身的λ倍，则变量随时间t的函数为
其中 C 是任意常数。
正态分布
正态分布是自然科学和行为科学中定量现象的统计模型。 已发现各种心理测试分数和物理现象（例如光子计数）大致遵循正态分布，尽管这些现象的根本原因通常是未知的。 理论上可以证明，如果把很多小的影响加在一起作为一个变量，那么这个变量就服从正态分布。
正态分布在生活中无处不在。 多次重复测量一个物理量，测量值一般呈正态分布； 瓶装可乐的实际体积也服从正态分布； 一大群人的寿命分布、智商分布等也是正态分布的。 而在正态分布的表达中，e也神奇的出现了。
伽玛函数与斯特林公式
阶乘运算n! 它最初是在正整数上定义的。 泛化是数学家最喜欢做的事情，所以阶乘函数也不能幸免。 将阶乘函数扩展到复数时，我们要找的函数是一个通过所有(n 1,n!)个点的函数。 所谓伽玛函数Γ(x)满足这个性质，伽玛函数的表达式中出现了e：
阶乘n！ 与e还有另一个神秘的联系。
当n趋于无穷时，n! 满足如下近似关系——斯特林公式：
（“~”符号表示同阶，可以粗略地认为当n趋于无穷大时近似等于）
如果要计算一个大的阶乘值，而位数有限，不能直接用计算机计算，可以用斯特林公式来近似计算。
调和级数
所谓调和级数就是1 1/2 1/3 1/4 … 1/n …. 是发散级数。 当n趋于无穷大时，和也将趋于无穷大。 但也是一系列的发散，发散也有快慢之分。 调和级数的发散速度是多少？ 伟大的欧拉发现的一个著名极限给出了答案：
因此，调和级数的发散速度与以e为底的对数——ln函数的发散速度完全相同。
质数与e
质数（或素数）是指除1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。 素数看似与e无关，但素数分布理论指出，素数的分布与e密切相关。 如果用π(x)表示不大于x的素数个数（注意这里的π不是pi！），那么素数分布中心定理指出
或者可以是 写成
注意ln是以e为底的对数。 看，e只是出现在了看似无关的领域！
悬链线
数学史上有一个著名的问题，叫做悬链线问题：一条柔软不可伸长的链条，两端固定在空间的一个不动点上（这两点 不必高度相同），链条形成的曲线是什么曲线？ 这个问题与最快下降线问题大约同时被问到，而且参与者大多是相同的。 早在文艺复兴时期达芬奇就对其进行了研究，可惜一直没有得到答案。 伽利略猜想答案是一条抛物线，这与很多人最初的感觉是一致的，但后来被惠更斯在 17 岁时证明是错误的。
与最陡直线问题一样，其中一个 伯努利兄弟曾公开征求答案，但这一次是雅各布兄弟，他在 1690 年发表在《教师学报》上，解决了这个问题。 1691 年 6 月，即雅各布提出问题一年后，教师学报发表了惠更斯（当时 62 岁）、莱布尼茨和约翰·伯努利提交的三个正确答案。 三者的方法不同，但最终的结果是一样的。 但雅各布自己却无法解决，这让他的弟弟约翰·伯努利非常兴奋。
悬链线的正确方程是这样的：
它的发现被认为是当时新微积分取得巨大成就的重要标志。 现在，这条悬链线在密苏里州的世界著名地标圣路易斯拱门中永垂不朽。
e一次又一次地像幽灵一样出现在各个地方，常常给人们带来惊喜。 而以上只是冰山一角。
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