注：本文内容涉及大学微积分中的一小部分知识点，但会尽量用图来说明清楚。 另外，本文内容仅供参考，可以加深对数学的理解，尽量不要用在高中数学答题过程中。

关于切割的问题切割线的斜率其实在高中就遇到过，比如， 在导数双变量问题中，如果要证明的不等式包括f(x1)、f(x2)、x1、x2，通常的做法是要么使用单调构造函数，要么二元转一元，使用单调构造函数A 其中很大一部分涉及割线的斜率，例如：

这类题目难度不是太大。 您可以使用函数在区间内的单调性来找到参数范围。 2019年浙江高考数学16题，也涉及到割线的斜率。 详情可点击下方链接查看：复习2019年浙江高考第16题

今天的内容是研究是否可以利用关系来解决此类问题 割线斜率和切线斜率之类的问题，但是和常规的练习相比，今天的内容不会给解题带来大的飞跃，一定不会出现在解大题的过程中。

首先我们来看一组图片。 以y=lnx为例，可以看出函数在定义域内单调递增，凸性向上。凸，（文末 会附上函数凸性知识点的链接），y’=1/x，y”=-(1/x)²<0，函数无拐点（凸性与 凹性变化，即二阶导数为零的点），我们在函数上取任意两个不同的点x1和x2，连接这两点的割线的斜率是否等于a处切线的斜率 图像上的某个点？ 当然是这样的：

上图中凸凹单一的函数显然满足要求。 如果我们设两点割线的斜率集为P，则函数任一点的切线斜率集设为Q，显然P=Q。 拉格朗日中值定理描述了大学里的这类问题。 定理如下：

在定理中，至少有一个点，当然也有可能不止一个点。 在一个有拐点的函数中，这样的值不止一个，如下图：

所以在一个单一的凸凸函数中我们可以直接使用结论。 注意下面的不等式中有等号，没有等号的下面给出。

注意上题中函数的凸凹不是单一的，为什么我们也可以直接把割线的斜率看成切线的斜率，下面会给出， 如果在包含拐点的函数中，我们以三次函数为例，我们看看两点之间的割线的斜率与函数上任意一点的斜率是什么关系。 函数选择为y=x³-2x² 1，y’=3x²-4x，f”(x)=6x -4，设f”(x)=0，得到x=2/3，函数有 拐点2/3，此时左右两边凸凹相对。 由上可知，x=2/3左右两边的割线斜率的集合等于切线斜率的集合，但切线的斜率 拐点处的直线不等于两点之间的斜率，如下图：

设置函数图像上任意两点不同的所形成正割的斜率的集合 直线为P，设函数上任一点切线斜率的集合为Q。此时P≠Q，P是Q的真子集，所以需要注意函数 在凸性和凹性上不是严格单一的。 是否采用拐点处的斜率。

直接利用切线的斜率得到的参数值需要注意能否得到端点值。 最后，可以做一个验证。 当得到端点值时，函数上任一点的斜率都小于等于2。此时不能从拐点处切线的斜率求出割线的斜率，所以 可以得到端点值，如下图所示：

总结：

1. 割线和切线斜率的关系 了解关系就够了，知道它们什么时候相等，什么时候割线斜率范围比切线斜率范围小1。

2. 这种方法不像构造函数使用单调性来解决那么简单。 大问题不能用，小问题可以适当使用

3. 当存在拐点时，关键点是需要注意能否得到拐点处切线的斜率值。 事实上，是否考虑拐点处切线的斜率直接反映在最终的答案中。 不等式中是否有等号可以这样记忆。 等号表示拐点处切线的斜率可以忽略，割线的斜率等于切线的斜率。 不需要考虑是否有拐点。 当期望的不等式没有等号时，需要考虑能否得到拐点处切线的斜率。

关于函数的凸性和拐点的问题可以参考链接：【函数题目补充】函数凹凸性在高中数学中的应用