基本上，任何科学理论的建立（应该去掉广义相对论）都不会从天上掉下来，而是会逐渐逐渐完善。 在这个漫长的过程中，只有很多人的付出才能取得成功。
卡尔达诺——三次方程根式解的发现者之一
15世纪，由于三次四次方程的公式解的建立，人们越来越注意到，许多负数的平方根应该也是可能的。 “意义”会分裂整个解方程的理论。 到16世纪，人们已经普遍认识到虚数的存在，并认为负数在一定情况下的平方根也是可能的。 于是数的概念就上升到复数，这是一个比之前的实数集更广阔的研究海洋。 人们开始把以前在实数领域使用的公式扩展到复数领域，包括三角函数、指数函数、对数函数等等。 直到欧拉，人们才开始真正理解这个复数。
欧拉神
1740年，欧拉发现有一个微分方程可以有两个完全不同的解：
他将这一发现写给他的老师约翰·伯努利 (John Bernoulli)。
通过将这两种截然不同的解代入这个微分方程，我们可以很容易地验证这是正确的。 我们现在很清楚这里到底是怎么回事，但当时的欧拉却感到非常惊讶，因为在当时的数学环境下，指数函数和三角函数在实数领域很难建立等价关系。 孩子确实不能接受。 欧拉天才般的直觉意识到，虽然这两个解在形式上大相径庭，但一定存在某种内在联系，或者说这两个解根本就相等？
欧拉继续研究，1743年左右，欧拉又发现了另外两个方程：
这种形式从根本上表达了自然指数函数和三角函数之间的深刻关系 在复杂的领域。 当然此时i还没有被正式激活，所以用上图中的定义来表示。 欧拉更进一步，最终推导出了我们现在熟悉的欧拉恒等式。
没有资料考证欧拉是用什么方法证明这个公式成立的。 但是从现在的数学角度去思考这个方程之所以成立，也是非常好的。 为了表达直观，还是从泰勒展开来解释。
至此，欧拉已经完全理解了自然指数函数与三角函数在复数领域的关系。 可以想象，这个公式也将在这两个数学领域中发挥重要作用。 1777年，欧拉在提交给圣彼得堡科学院的论文《微分公式》中首次发表了欧拉恒等式，并首次使用i作为虚数的单位，对应实数中的单位1 .
尤其是当恒等式中的x为π时，恒等式就变成了一个奇妙的方程式：
最美的公式
如果一个人不明白的由来 这个公式，光是盯着这个公式的表面，就会觉得这里蕴藏着无穷的奥妙。 π、e、i、1、0，这五座数学建筑中最基本的元素，怎么会如此和谐地统一在一个方程中呢？ π是几何学中最重要的常数，所有与三角函数有关的计算都离不开π； e是分析的基本常数，没有这个常数，微积分就无从谈起； i是展开各种计算的金钥匙，1是数域的基本单位，0是一切计算的起点。 这个公式把代数、几何、分析结合在一起，充分说明了内容在数学领域的高度关联性。 从一个领域出发，可能会解决另一个领域不相干的问题。 就像黎曼猜想，明明是猜测复数领域零点分布的猜想，结果却可以得到数论中素数的分布，这简直是难以想象。
人们经常评选出十大最美公式，欧拉恒等式和麦克斯韦方程组稳居前两名。
相传，有一次，俄国的叶卡捷琳娜二世厌倦了狄德罗宣扬无神论，便安排欧拉好好看看这个老顽固，因为欧拉一生都是个虔诚的人。 信仰上帝的基督徒。 欧拉打开门直言：“因为eiπ 1=0，所以上帝存在！” 狄德罗哑口无言。
叶卡捷琳娜二世
欧拉一生不仅在数学方面颇有建树，而且几乎在每个领域都留下了自己的研究成果。 数学功底也让欧拉在其他领域脱颖而出，在力学、弹道学、天文学、建筑学等方面都有着深厚的造诣。 人们怀念18世纪的欧拉，就像期待未来的下一个欧拉。
