从现在的高等数学教材和网上对拐点的定义来看，好像都不是很清楚，给老黄造成了一些疑惑，所以在这里提出来和大家一起讨论。

在老黄学习的教材版本中，拐点的定义是这样的：

定义1：设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有一条切线穿过曲线，在切点附近，曲线严格在两个点上 切线两侧凸且严格凹，则点(x0,f(x0))称为曲线y=f(x)的拐点。

理解这个定义 ，有两个关键点：

①曲线与切线在(x0,f(x0))点相交；

②在U的某个邻域中，右邻域U(x0)和左邻域U -(x0) 的凸性是严格逆的。

理论上，定义必须非常准确。 但是有些地方函数f(x)=|x^2-1|的点(1,0)和点(-1,0) 被定义为函数的拐点。 那么问题来了，曲线f(x)=|x^2-1| 显然在(1,0)和(-1,0)点连导数都不可导，更不可能有切线。 切线和曲线如何相互通过？

因此，如果按照这个定义来理解，点(1,0)和点(-1,0)就不是f(x)=|x^2-1|的拐点。 但是，像这样的情况还有很多，在一些地方，难免引起争议。 根据拐点的另一个概念“拐点”。 将拐点的定义改成下面的形式似乎更合适。

定义2：函数y=f(x)在点x0的某一邻域连续，若(x0,f(x0))为曲线y的凹凸边界点 =f(x),则(x0,f(x0))称为曲线y=f(x)的拐点。

根据定义2，点(1,0)和点(-1,0)显然是f(x)=|x^2-1|的拐点。 而且这个定义在网上也可以验证，只是地位不如定义1，总是作为定义1的补充解释出现的。所以老黄说现在拐点的定义 不够清楚。

老黄认为定义1是把切线在拐点处通过曲线的一般情况作为定义的一部分。 但除了一般情况，其实还有很多特殊情况。 一旦写入定义，就成为必要条件，会排除很多特殊情况，导致定义不准确。

除此之外，定义1中还有很多经不起推敲的地方。 例如，定义上说“曲线在切线两边严格凸凹”，但这种说法实际上是不准确的。 因为它意味着曲线被分成两个区间，但是曲线可以被分成无数个区间，只要在相邻的两个区间上满足这个条件即可。 所以不管是定义2还是老黄补充的分析②，都明确指出了x0只有某个邻域需要满足条件。

另外，还有一个争议点涉及导数和切线的知识。 即在定义1中提到，曲线在x0处的切线，自然地，函数在x0处的切线的存在成为必要条件。 但是，如前所述，f(x)=|x^2-1| 在拐点 (1,0) 和 (-1,0) 处没有切线。

而且切线的存在很容易被误认为求导。 但实际上，切线的存在不一定会导致。 因为有一种特殊情况，当导数等于无穷大的时候，我们改成导数不存在，所以不可导。 例如，当函数 y=three root x 在 x=0 上时就是这种情况。 这让老黄觉得很尴尬。 在老黄看来，如果把“切线存在”、“求导存在”、“函数可求导”这三个统一起来，就更容易让人接受。

因此，老黄认为定义2更靠谱。 定义1应作为“可导拐点”的定义，而不是拐点的定义。 因为拐点的研究通常是通过研究该点的二阶导数来进行的。 因此，定义可引导的拐点也有其意义。