之前关于数学分析的文章讨论了函数的一维微积分。 本套教材最后一卷从一维数轴过渡到二维平面，对多元函数微积分的理论进行讨论和分析。
有了前面的基础，我们不难把前面的知识体系迁移到这里。
首先定义域，从数轴R到平面R^2，然后给出点与面的关系，点与点集的关系，平面集的开闭关系。
定义域是限定的讨论范围，是函数的灵魂。 有必要讨论一下R^2的完备性。
域论完善和明确后，二元函数自然而然地出现了。 完全一样的结构，定义二元函数和多元函数，然后描述二元函数的极限。 这里就出现了倍数限制和累积限制的概念。 通过极限理论，描述了二元函数的连续性。 同样，连续二元函数具有特定的某些总体性质。
数学分析知识发展轴：函数-“极限-”连续-“可微-”积分
连续二元函数也有可微和可微的概念，不同的是这里分了偏导数和全微分的概念。 难免要讲到可微的几何意义和充分条件，以及复二元函数的微分方法和求导规律。
至此，二元函数的微分理论算是结束了。 二元函数微分有什么用？ 最常见的用途是求最大值和极值，这涉及到方向导数最大值和梯度的概念，二元函数也可以通过泰勒展开。 求极值是最常用的，也是最有用的。 但是，它在什么情况下会出现极值呢？ 这是一个需要详细讨论的问题——多元函数极值存在的充要条件。
当自变量与因变量之间的一一对应关系不能用数学表达式z=f(x)表示时，称为隐函数。 隐式函数具有几何意义。 讨论隐函数的解析性质，首先要解决隐函数的存在性。 只有存在，才能进行后续的推导讨论。
隐函数组可以表示：两曲面相交得到的曲线的参数方程，反函数组，坐标变换。 隐函数组。
隐式数组的具体应用：空间曲线的切面和法线，曲面的切面和法线。
会涉及到条件极值的概念和几何意义，条件极值和拉格朗日乘数法也有关系。
讨论完二元函数的微分导数之后，是时候讨论积分的性质和理论了。
这里的积分会涉及到带参数积分（分为正规带参数积分和异常积分），讨论正规带参数积分的性质，讨论异常带参数积分的一致收敛判别方法和解析性质 是不可避免的。
带参数的反常积分有具体的应用：
- 计算泊松型积分
- 计算狄利克雷型积分
- 计算 Euler型参数积分–Gamma函数
- Beta函数
- Beta函数与Gamma函数的关系
重积分，类似于定积分 ，具体应用包括计算曲面面积，计算重心，计算万有引力。
按照二重积分的定义-》存在性-》可积类型-》二重积分的性质，依次讨论二重积分的概念。具体来说，有二重积分的计算 笛卡尔坐标系（矩形区域内的二重积分可以转化为累积积分，推广到一般区域）。二重积分中有一个变换变量公式（变量变换和面积元）。变换后， 二重积分可以在极坐标系下计算，另外，从二重积分到三重积分，三重积分的计算方法是将其变为重复积分（包括穿针法和穿片法），而 三重积分也有变量变换的方法。
积分是一种工具，是一种手段。在讨论了多元函数的积分性质之后，应用 n是重点：计算曲线积分和曲面积分。
- 第一类曲线积分
- 第一类曲面积分
- 第二类曲线积分
- 曲面 第二类积分
- 两类曲线积分之间的关系
- 两类曲面积分之间的关系
- 各种多元积分之间的关系：
- 1）格林公式
- 2）高斯公式
- 3）斯托克斯公式
- 4）曲线（平面/空间）积分和Path 独立性
最后是场论的初步研究：
- 涉及散度和旋度
- Hamiltonian算子
- 几个常用场：
- 1) 被动场
- 2) 无旋转场
- 3) 梯度场
- 4) 发散域
- 5）旋度域
以上是本套教材最后一册多元微积分理论的大致内容和编排知识体系顺序 结构的 e.
纯数学理论太枯燥了，明天开始，换个新口味。
