#头条创作挑战赛#

正弦或余弦的幂的不定积分要分情况讨论。 奇次幂和偶次幂分开探索，结果完全不同。 老黄这里先推导奇次方的公式，因为奇次方的公式会比较简单。 先求余弦奇次方的公式：

探索：求 ∫(cosx)^(2m 1)dx, m∈N*。

解：原积分 = ∫(cosx)^( 2m)dsinx[这一步是补微分]

=∫(1-(sinx)^2)^mdsinx

=∫∑(i=0->m)C(m,i) (-(sinx)^2)^idsinx【牛顿二项式展开求和公式】

=∑(i=0->m)∫(-1)^i*C(m,i)(sinx)^(2i)dsinx【求和的积分等于求和的积分， 和积分和的线性规律用】

=∑(i=0->m)(-1)^i*C(m,i)(sinx)^(2i 1)/( 2i 1) C.【首先代入积分法的隐式应用，结合幂函数的积分公式】

用它来解决一个示例问题，试试吧！ 先用一般方法求解，然后直接用公式求解，对比一下：

例1：求∫(cosx)^5dx。

解1 : 原积分 = ∫(cosx) ^4dsinx

=∫(1-(sinx)^2)^2dsinx=∫(1-2(sinx)^2 (sinx)^4)dsinx

=sinx 2 (sinx)^3/3-(sinx)^5/5 C.【通解好像不难，因为m的值很小】

解2：原积分= ∑(i=0 ->2)(-1)^i*C(2,i)(sinx)^(2i 1)/(2i 1) C. [这里注意m =2而不是5。这个结果可以作为答案，展开后的结果与解1一致]

当m过大时，解1就不行了，比如下面这个示例问题 :

例2：求∫(cosx)^99dx。

解：原积分=∑(i=0->49)(-1)^i*C(49 ,i)(sinx)^(2i 1) /(2i 1) C.【通解无法求解，否则太麻烦】

同理，正弦的奇次方的积分公式可以 推导如下：

∫(sinx) ^(2m 1)dx=∑(i=0->m)(-1)^( i 1)*C(m,i)(cosx)^(2i 1)/(2i 1) C.

同样利用正弦的奇次方公式，做一道例题：

例3：求∫(sinx)^5dx。

上个习题，这个习题不难，想一想。

习题：求∫x^6*arccosxdx。

解：原积分= 1/7*∫arccosxdx^7【幂函数微分】

=1/7*x^7*arccosx-1/7*∫x^7*darccosx【这是分部积分公式的应用】

=1/7*x^7*arccosx – 1/7*∫(cost)^7dt【交换t=arccosx，结果是余弦7次方的不定积分，可以直接用公式1，m=3】

=1 /7* x^7*arccosx-1/7*∑(i=0->3)(-1)^i*C(3,i)(sinx)^(2i 1)/(2i 1) C

=1/7*x^7*arccosx-1/7*∑(i=0->3)(-1)^i*C(3,i)√((1-x^ 2)^ (2i 1))/(2i 1) C。

如果没有老黄的公式可能很难解出这样的结果。 本练习题还隐含了另一个公式，即偶次幂函数与反余弦（或反正弦积）的公式。