随着微积分的发明，数学的复杂性有了巨大的飞跃。 这些想法成为广泛的数学领域（分析）的基础。

我们如何知道 2 的平方根？ 我们现在知道2的平方根是无穷大不循环小数，它逼近一个实数x，我们不能真正写出x的值。 通过近似，我们大概知道x=1.4142135……。

另外，我们如何用尺子测量曲线的长度？ 通常的做法是先沿着曲线画几个点P_0，P_1，P_2，…，P_n，然后测量P_0到P_1的距离，P_1到P_2的距离，直到P_n。 最后，输入这些直线距离。 如果有足够的点并且分布均匀，则测量的距离值是一个很好的近似值。 此外，该方法还可以给出“精确长度”的含义：如果取无穷多个点，则长度将趋近于某个数y。 在这一点上，我们知道曲线的确切长度是 y。

即使是上面的例子，也涉及到一个数字x，y，是通过“近似法”得到的。 但近似这个词的含义有些含糊不清，明确定义它很重要。

下面两个例子很重要，建议牢记在心。 第一个是序列

在某种意义上可以说这个序列趋近于1，因为每一项都比前一项更接近1。 但是我们所说的趋近于1并不是这个意思。 关键不是越来越接近1，而是能够任意接近。 这个序列只会接近一个值。 显然是“极限1”。