1644年，瑞士数学家Pietro Mengoli提出了一个问题，所有自然数的倒数的平方和是多少？
瑞士巴塞尔美丽的风景
这似乎不是一个特别难的问题，但是很长一段时间以来，没有人能够给出答案。 这个问题难倒了很多著名的数学家，比如微积分的两位创始人牛顿和莱布尼茨。 莱布尼茨发现了第一个用于计算 π 的无限级数形式。
莱布尼茨求π
这是一个前所未见的表达式，因此莱布尼茨吹嘘他能求出任意给定无穷级数的和。 我们假设，当时他确实有说出这种狂言的力气，但他确实在巴塞尔问题上翻船，直到去世才看到这个问题的最终答案。 长期以来，这一直是数学界悬而未决的难题。 100多年后，欧拉出手，巴塞尔问题由此得名。 巴塞尔是欧拉和伯努利家族的故乡。
我们来看看欧拉对巴塞尔级数问题的求解过程。
欧拉求解巴塞尔问题的过程
这里欧拉构造了一个特殊的函数，最后通过对这个函数的泰勒展开得到了正确的结论。
这个级数的收敛性得到了很好的证明。 欧拉神笔在（2）和（3）之间转换。 由于这个函数 f(x)，很容易看到所有零点。 欧拉将有限多项式中使用的因子乘积创造性地用于无限项多项式中。 为什么欧拉要把公式（3）写成这样的乘法形式而不是其他形式呢？ 这是因为f(x)的泰勒展开右边有一个常数1，所以等式左边展开后也应该有一个对应的1。
其实从（2）到（3）的跳转是非常冒险的。 在很多情况下，对于有限项明显的处理方法放在无限项中是完全错误的。 欧拉当然知道这样做的风险，但欧拉是一个无与伦比的计算大师，他计算出巴塞尔级数的值在1.645左右，这与他得到的结果相同π2/ 6 以完全相同的方式，更加确信得到的结果是正确的。 事实上，巴塞尔级数的收敛速度极慢，大约需要第10000项才能精确到小数点后三位！
欧拉神
1735年，欧拉大胆地发表了这一结论，轰动了整个数学界。 年仅28岁的欧拉解决了这个问题。 莱布尼茨，一个牛顿从未解决过的难题，从此名扬天下。 六年后的 1741 年，欧拉终于弥补了这个缺陷。 至此，巴塞尔问题才真正彻底解决。
如果将(3)的左边展开，我们发现左右两边只有x的偶数项，不会出现x的奇数项。 如果我们有办法计算出式（3）左边的所有x的系数，理论上就可以得到自然数的倒数的任意偶次幂之和。 其实很早以前就有人做过这样的工作，不知道是不是欧拉也做过。
自然数的倒数的幂和公式
这里，B被称为伯努利数，顾名思义，就是数学家伯努利发现的数列。 这个序列在很多领域都有重要的应用，也有很多奇妙的性质。 有机会具体讲一下。 还记得拉马努金在印度发表的第一篇论文的名字吗？ 它被称为“关于伯努利数的一些性质”。
Ramanujan的第一篇论文是关于伯努利数
既然可以找到自然数所有倒数的偶次幂之和，那么奇次幂之和呢？ 似乎并没有那么“难”。 上面分析过，欧拉法求不到奇次幂之和。 很多人研究过这个问题，但无一例外，从来没有人获得过解析值。 不管用什么方法计算，到头来要么落入求不到原函数的定积分形式，要么得到求和求不出来的无限级数。 总之，这个值收敛了，但是解析值永远找不到。 可能有人会疑惑，既然范围和收敛区间是确定的，为什么查不到准确值呢？
其实这种情况很常见。 我们能找到精确值的无穷级数，其实是非常非常有限的。 大多数无穷级数最终还是无穷级数。 很多看似简单明了的问题，最终都不会是我们预想的结果。 例如，对于椭圆的周长，你无法得出一个精确的计算公式。 最好的结果只是一个由大量数值和椭圆参数组成的无穷级数。 有兴趣的同学可以自己尝试一下，所有自然数的倒数的立方是多少，最简洁的结果。
有趣的是，任意两个自然数互质的概率是6/π2，恰好是巴塞尔级数和的倒数。
欧拉对巴塞尔级数的研究也给黎曼很大启发。 黎曼将k从整数域扩展到复数s域，经过解析延拓和一系列变换，终于诞生了数学史上最重要的函数之一黎曼zeta函数。
数学中最重要的函数之一——黎曼zeta函数
巴塞尔问题的解决，正式宣告了18世纪数学界迎来了最核心的人物。 这也是欧拉几十年数学生涯巅峰的开始。
