在上一节中，我们介绍了函数和序列的相似之处，收敛序列的性质和函数极限也有很多相似之处。下面以函数极限的性质为例，讨论收敛序列和函数极限的性质。

(3)收敛序列的性质和函数极限

首先需要引入单边极限的概念：

在函数极限的定义中，自变量X趋近于某个常数，且 X可以从左边接近，当然也可以从右边接近。

我们来证明这个定理：

观察函数f(x)的图像，我们可以发现：

随着参数 X 接近 0 的左侧，函数的值接近负无穷大。

当自变量X趋近于0的右边时，函数的值趋近于正无穷大。

显然，当X趋近于0时函数的极限不唯一，那我们能不能认为函数的极限不唯一呢？

利用矛盾的方法：

定理2（函数极限的局部有界性）当x→a时，若f(x)=A，则有常数M>0且 δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)|<=M

首先，x→a是一个局部概念，也就是说X是位于a附近的一个偏心场中，

举个简单的例子，比如f(x)=x，显然当x趋近1时这个函数的极限值为1，所以函数在x点 = 1 在一个非常小的偏心区域有界，比如区间 (0.9999, 1)∪(1, 1.00001) 显然有界。

定理3（函数极限的局部数保证）当x→a时，若f(x)=A，且A>0（或A0，使得当0<|x-a|0（或f(x)<0）

或以f(x)=x为例，x趋向于 1处的极限值大于0，显然x=1附近有一个字段如(1, 100001)内部函数的值大于0。

最后，与函数极限的性质，我们可以得到收敛序列的一些相应的性质：

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