函数公式网 gamma函数 轻松理解伽马分布

轻松理解伽马分布

上一篇文章讲了gamma函数,今天讲一下gamma分布。 由于两个名称都包含伽玛,因此必须存在联系。 我们先从伽马函数谈伽马分布,完全从数学的角度,再从概率统计的角度来看伽马分布。

我们已经知道gamma函数的一般形式是

A为实数,x>=0。

接下来,我们根据gamma函数生成概率密度函数(probability density function),简称pdf。 概率密度函数在定义域内的积分为1,函数取值范围为[0,1]。 得到基于gamma函数的概率密度函数,方法是将gamma函数的一般形式两边除以(a)得到

满足概率密度函数的要求,这个概率密度函数就是伽马分布的概率密度函数。 为了使概率密度函数具有概率和统计意义,将x替换为x/θ,θ为常数。 具体 概率统计的含义后面会介绍。 替换后的方程为

得到伽玛分布的概率密度函数

伽玛分布的概率密度函数是从数学的角度得到的,现在通过一个概率统计的例子来推导。

在《10分钟理解泊松分布》中,我们知道了泊松分布和指数分布的关系。 指数分布。 伽马分布是指数分布的扩展,表示事件发生一次之间的时间间隔。 现定义单位时间内事件平均发生次数为λ,等待事件发生一次的平均时间θ为1/λ。 W代表一个事件发生一次的等待时间,X代表单位时间内发生的事件数。 则X满足泊松分布,概率质量函数为:

现在求W的概率密度函数f(w),我们可以先求W的概率分布函数F(w), 然后对于F(w)得到概率密度函数f(w)。

根据概率分布函数的定义,可以得到

So

接下来,我们将P(W>w)的概率转化为 泊松分布场景。 P(W>w)表示事件发生a次且等待时间超过w的概率。 那么,在时间区间[0,w]内,事件的发生一定小于a次,即[0,a-1]次,表示为

其中

我们知道X满足泊松分布,时间区间[0,w]的平均出现次数为λw,所以我们可以得到

然后我们对F(w)进行微分得到概率 密度函数f(w)

将λe−λw移出累加,k除以k!

展开k=1,2,3…a-1得到

仔细观察方括号内是错位的减法,得到

已经很接近最终答案了。 由于λ=1/θ,我们可以代入

得到与前面数学方法相同的公式,(a-1)! 可以用(a)表示。 其中a表示事件发生a次,θ表示事件发生一次的平均等待时间,w表示事件发生一次的等待时间。 表示为W~GAMMA(a, θ)。 当a=1时,伽玛分布变为指数分布。 所以指数分布是伽马分布的特例。

在保持θ不变的情况下,取1,a的取值对gamma概率密度函数的影响如下,红色、橙色、绿色、淡蓝色、深蓝色对应值为1, 1.5,分别为2、3、4。

当a不变,取2,θ取值对gamma概率密度函数的影响如下,红色,橙色,绿色,淡蓝色 ,而深蓝色分别对应θ值为1、1.5、2、3、4。

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