任何具有数学基础的人都不陌生阶乘。 简单理解就是数字的累加乘法。 10的阶乘是10！ =10*9*8*7*6*5*4*3*2*1。 但是我们有没有想过分数的阶乘是如何工作的？ 有没有办法估计一个数的阶乘？

其实1/2的阶乘等于π的平方根的一半。 本文使用两种方法求方程。 每一篇都非常巧妙，看完后能打开数学思维。 一种是使用极限和多项式，另一种是使用伽玛函数。 让我们在下面证明这个等式。

首先，让我们证明沃利斯公式。

正弦函数sin x有无穷多个零点0,±π,±2π,±3π,…如果一个多项式有几个零点x1,x2,x3,x4…,xn , 那么多项式必须表示为

sin x可以大胆展开

将x=π/2代入上式可得

最后得到

上面的公式就是Wallis公式。 这种证明方法不是特别严格。 Wallis 还通过求弧下面积证明了 Wallis 公式。 请参阅参考链接“关于神奇的伽马函数”。

证明Wallis公式，然后估计n！ ，得到n阶乘的一般形式，然后求1/2的阶乘，欧拉用无穷积给n！ 的插值公式。

改为极限形式

整理公式得到

则证明了n的阶乘的插值公式，可以看出公式 同样适用于n为分数的情况，代入n=1/2得到

你会惊奇地发现，根号中的公式和Wallis公式几乎一样，只是 第一个因子 2 乘以较少。 将Wallis公式代入上式得到

这样，我们就可以求出1/2的阶乘的值。

阶乘和伽玛函数

伽玛函数的一般形式是

利用分部积分法，可以得到

这样就可以得到

那么gamma函数的一般形式是怎么推导出来的呢？ 欧拉通过n的阶乘导出了伽玛函数的一般形式。 由于1/2阶乘的结果中存在π，欧拉很自然地想到阶乘的计算会与积分有关，并提出如下一般积分形式：

这里n为正整数，e为a 正实数，用分部积分法得到

将上式反复迭代

就可以得到n的阶乘公式

p>现在n的阶乘已经成功地用积分的形式表达出来了，但是由于n是整数，所以公式的非整数部分不能推广到分数，所以继续简化公式。

要让一个量从数学​​方程式中消失，数学家通常的做法是让这个量取一个极值。 这里让 e 趋于无穷大。 取e = f/g得到

则令f趋于1，g趋于0。左边明显趋于n的阶乘，右边的计算需要简化， 使得x等于t的h次方，其中h=g/(f·g)，所以

当f趋于1时，g趋于0，h明显趋于0，常用的 limit可以用L’Hopital法则得到。

同时取两边的limit，见证奇迹的瞬间

gamma是通过对的阶乘推导出来的 n 函数的一般形式。

让我们使用 gamma 函数求出 1/2 的阶乘。

因为gamma函数的阶乘形式只满足n为正整数的情况，因为我们需要通过gamma函数的一般形式来计算1/2的阶乘。 我们将n=-1/2代入伽玛函数的一般表达式得到

仔细观察函数部分类似于某种分布的概率密度函数，也就是正态分布。 正态分布的概率密度函数为

正态分布概率密度函数的一般形式有很多参数，不方便我们观察。 我们取正态分布的标准形式，即μ取0，σ取1，则正态分布的概率密度函数变为

关于y轴对称，则积分 大于0的部分为1/2，可得

设x = √(2t)，代入上式可得

令人惊奇的是，发现积分 部分包含了我们要求的(1/2)，所以得到

现在我们得到了(1/2)，求1/2的阶乘，即(3/2)，很简单 ，因为

我们可以得出结论

这篇文章只是简单介绍了伽玛函数，下一篇文章会介绍与伽玛函数相关的伽玛分布和贝塔分布。

参考链接：

https://www.flickering.cn/数学之美/2014/06/魔法伽马函数/