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今天我们要讲的是不定积分的求解方法，希望大家认真研究一下。

1. 第一类代入法：形式为∫g(x)dx=∫f［z(x)］z′(x)dx=［∫f(u)du］ 其中u=z(x )

例子

2。 第二种代入法（需要t阶）

(1)，根号中只有一次项和常数项的二次根

方法：将根号整体替换，去除根号

例：

(2)中只有二次项和常数项的二次根 根号（a为常数项）方法：

4． 如果被积函数包含√x²±a²，也可以尝试设x=sh t 或x=ch t 其中(∫sh xdx=ch x＋C ∫ch xdx =sh x＋C)

例①

②

③

④

(三)、根是一般二次多项式的二次根。

方法：将求根公式化为求根符号中的二次项和常数项。

例子：

(4)，下面两种情况：

例子⑤

例子⑥

(5) 如果被积函数是商的形式，分子的个数小于分母，尝试反向代入，设x=1/t

例子：

2.分部积分

分部积分公式：∫udv=uv－∫vdu

分部积分的常见类型：

(1) ∫ 幂 x 指数 dx 选择指数 dx=dv

(2) ∫ 幂 x 对数 dx 选择幂 dx=dv

(3) ∫ 幂 x 三角形 对于函数dx，选择三角函数dx=dv

（如果sinx cosx遇到两次，半角公式一次。如果遇到三次，先补微分再用积分 by parts. secx tanx cotx cscx must be even times)

(4) ∫ power x 反三角函数 dx power selection dx=dv

(5) ∫ power x 三角函数 dx （视情况而定）

(6) ∫secⁿxdx 和 ∫cscⁿxdx （n为偶数时不需要分部积分）

综上，选择谁是U谁是 V，看谁容易求导，谁求导容易，取为U，否则为V。比如多项式x乘以三角函数cosx。 推导多项式x显然更容易，所以我们选择多项式x作为U。

3. 有理函数的不定积分

本方法出自《数学分析第一卷》（第三版），华东师范大学数学系编，190页。

看几个例子（知识有限，具体方法下次总结）

四、三角函数中的积分技巧

1. 在计算∫sin²ⁿ⁺¹xdx或∫cos²ⁿ⁺¹xdx时，一般会将积分∫sin²ⁿ⁺¹xdx转化为-∫(1-cos²)ⁿd(cosx)，将积分∫cos²ⁿ⁺¹xdx转化为∫(1-sin²) ⁿd(sinx) 来计算。

2. 在计算积分 ∫sin²ⁿxdx 或 ∫cos²ⁿxdx 时，一般采用倍角公式进行降功率计算。

3. 在计算积分时 ∫sin(ax)cos(Bx)dx, ∫sin(ax)sin(Bx)dx, ∫cos(ax)cos(Bx)dx，一般使用乘积和差公式对被积函数进行变形后再计算 它。

4. 当形状像 ∫R(sinx, cosx)dx 时，一般采用通用代换法，设 t=tanx/2。

例子

5. 若R(cosx, sinx)dx=R(-cosx,-sinx)dx,令t=tanx;

若有R(-sinx,cosx)dx=-R(-sinx,cosx )dx,则cosx=t;

若有R(sinx,-cosx)dx=-R(sinx,cosx)dx,则sinx=t。

Example

此外，您可以使用积分表快速找到一些原始函数。

• 从哲学上讲，矛盾是普遍的，需要具体问题具体分析。 求解不定积分的方法不限于上述几种。 我们在做题的时候，要从问题本身的情况出发，采取灵活多变的解题方法。

参考文献（Rreference）：

·［1］华东师范大学数学系。 数学分析（第1卷）［M］． 北京：高等教育出版社，2001.6

·［2］Jimidovich等． 数学分析习题集［M］.北京：高等教育出版社，2010.7

·［3］同济大学数学系。 高等数学（第1册）[M]． 北京：高等教育出版社，2014.7