制图
地图其实是一个很直观的概念，比如：人在太阳下地面的投影，摄影，三角形的外接圆，y = x², y’ = (d/dx)y 等等。
在数学上，映射由三部分组成：原始图像空间（集合）X、图像空间（集合）Y、规则f。 表示为：
f:X→Y
其含义是X中的任意一个元素x（或原始图像）按照规则f在Y中只有一个元素y（或图像）与之对应。 这里有两个重点，1）“Any element x in X”，意思是X中的任意元素都适用于规则f，即X是规则f的定义域（记为Df，显然Df = X ); 2）“Y中有一个唯一元素按照规则f与之对应”，意思是原像x对应的图像是唯一的，即所谓的唯一性。
虽然规则f的定义域是原始图像空间X，但通过规则f映射到图像空间Y中所有元素的集合（称为 值域，表示为 Rf) 本身，通常是 Y 的子集（即 Rf⊆Y）。 另外，不同的原像x也可以通过规则f映射到同一图像y，即按照规则f对应图像y的原像不要求唯一性。
如果图像y对应的原像x是唯一的（即如果原像x1和x2的图像具有相同的y，则x1 = x2），这种映射称为单射的。 如果映射的范围 Rf 等于图像空间 Y（即 Rf = Y），那么这种映射称为满射。 如果两者都为真（即单射和满射），则映射称为双射（或一一对应）。
对于单射性，由于值域 Rf (Rf⊆Y) 中的每个图像 y 在原像空间 X 中都有一个唯一的原像 x 与之对应，显然可以构造一个映射，表示为 :
f⁻¹:Rf→X
这个映射称为映射 f:X→Y 的逆映射。 显然，这个逆映射的定义域是Rf，取值范围是X（即满射）。 另外，从原图图像的唯一性可以看出，逆映射一定是单射的，所以f⁻¹:Rf→X是双射。
注入是逆映射存在的充要条件。
若有两个映射
f:X→Y
g:Y→Z
且满足Rf⊆Y（或 Rf⊆Dg)，则可以构造一个映射g•f，表示为
g•f:X→Z
其含义是X中的任意元素x首先跟随 规则 f 映射到 Y 中的元素 y，然后根据规则 g 将 y 映射到 Z 中的元素 z（通过 Rf⊆Dg 确保 y ∈ Dg）。 映射 g•f:X→Z 称为映射 f:X→Y 和 g:Y→Z 的复合映射。
函数
y = f(x) = sin(x)
z = g(y) = √y
显然 ，这是一个复合函数 (√sin(x))。 由于Dg = {y|y≥0}，必然有Rf = Dg ∩ {y|-1≤y≤1} = {y|0≤y≤1}。 可见，复合函数z = g•f(x) = √sin(x)的定义域为Dgf ={x|2kπ≤x≤(2k 1)π,k∈N} = X。可 表示为
g•f:X→R
其中R为实数域，g•f的取值范围为Rgf = {z|0≤z ≤1}⊂R。
三、函数
y = f(x) = x² (x≥0)
这个函数可以表示为
f :X→R
其中 X = Df = {x|x≥0}，且 Rf = {y|y≥0}⊂R。 一般来说，有x = ±√y，但由于x≥0的域限制，显然这个映射是单射的，所以有逆映射
f⁻¹:Rf→ X
也就是有一个反函数
x = √y
其实从映射的角度来说，函数并不是一个新的东西 ，它只是实数域上的映射。 可以表示为
f:X→R
其中X⊂R。
由于函数是实数域上的映射，实数域的特殊性质会在对应的映射中体现出来，如实数的线性阶数、连续性、四次算术运算等。 函数映射的特殊性质是：
1）函数有界性
由于实数域具有线性序，函数值可以比较。 如果函数的值小于常数 M 或大于常数 m，则称函数具有上限 M 或下限 m。
2) 函数的单调性
如果对于任意x1>存在f(x1)≥f(x2)（或f(x1)≤f(x2)）关系 x2，则称函数f(x)单调递增（或单调递减）。 如果等号不为真，则它严格单调递增（或严格单调递减）。
3）函数的奇偶性
如果存在f(x) = f(-x)的关系，那么这个函数是偶对称的； 如果存在关系 f(x) = -f(-x)，则函数是奇对称的。
4) 函数的周期性
如果存在实常数T使得f(x) = f(x T)，则函数f(x)称为a 周期函数。
既然严格单调函数一定是单射的（存在逆映射），那么严格单调函数必然存在对应的逆函数。 请注意，严格单调性是反函数存在的充分条件，但不是必需的。
复合函数类似于函数中复合映射的概念。 复合映射中的所有属性都存在于复合函数中。
下面给出三个基本的初等函数，从中可以通过反函数、复合函数和有限四次算术运算得到所有的初等函数。
1) 幂函数
y = x^μ
其中μ为实常数。 当μ=0时，y=1，为常数函数。
2) 指数函数
y = e^x
由于指数函数是严格单调的，它有一个反函数，表是
y = ln(x)
因此，一般的指数函数可以表示为
y = a^x = e^(ln(a)x)
其中a是大于零的实数。
3) 三角函数
y = sin(x)
这里只需要给出正弦函数，其他三角函数可以将正弦函数传有限次 合成和四次运算得到。 由于三角函数是周期函数，显然不是单射的，所以不存在一般意义上的反函数。 如果将三角函数的定义域Df(即X)限定在一个特定的周期内，就可以得到相应的严格单调函数，从而可以定义特定周期内的三角函数的反函数，而这个特定 周期称为对应的反三角函数的主值范围。
对于初等函数，虽然其自变量的取值范围X（以及定义域Df）没有像映射那样特别给出，但是每个初等函数都有自己要求的自变量取值范围，以保证 函数在实数域是有意义的，这个范围称为初等函数的自然域。
