【本系列属于简单的数学知识普及，适合有一定数学基础的高中生阅读。 不严谨还请多多包涵，有错误还望指正]

说到复合函数，在推导反函数之前，先说一下函数连续性的概念。 当x在某一邻域的增量趋于0时，函数的增量也趋于0，则称at连续，写成：if，则称at连续。 还有另一种表达方式：如果，则称为连续处。 如果区间上的每个点都是连续的，则称该函数在区间上是连续的。

一个函数的可导定义是存在的，我们假设此时的无穷小在哪里（极限为0），那么两边的极限就可以得到。 这意味着如果它在 处可微，则它在 处必须连续。 反之则不然。 例如函数在0处连续，但由于在0处左右导数不同，所以在0处不可微。

4. 反函数推导

如果函数是单调可导的且导数在区间内不为0，则其反函数在区间内也是可导的，

证明：首先证明反函数的连续性， 因为可以根据可导性和连续性的关系，得到内在的连续性。 因为在区间上是单调的，以单调递增为例，根据单调的等价性， , 也是内单调的。

对于any，我们取区间内的任意一点，

令

取 的最小值，此时成立，即。 根据单调性，即成立，根据极限的代数表示，证明，所以在 处连续。 因为区间内的每一点都是连续的，可以推导出区间内的每一点也是连续的。

下面证明推导公式是基于单调性的，所以，因为是连续的，也就是所以

5. 复合函数求导

如果在点x可微，在点可微，则复合函数在点x可微，求导。

证明： ，设当时的无穷小（极限为0），两边除以，。

因为在点处可导，所以在点处也是连续的，即so。

因此

，证明结束。