作者 | 刘扬州

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本文试图向高中生，尤其是物理竞赛学生普及单变函数微分学。 微积分基于各种几何直觉，因此可以快速理解和掌握计算。 读者只需要用感性与直觉去理解，结合简单的计算与证明，就能体会到微积分的奥秘。

：实数。

：常量。

：表示小增量，也可以理解为差分运算符。

求导的几种表达方式：

二阶导数：

N阶导数：

• 极限的表现形式：，当时，是有的。 特别地，当它是一个连续函数时，还有我们接下来要讨论的连续函数。

• 高阶无穷小量：如果 ，表示一类函数满足以下条件 关系

比如当时是高阶无穷小量。

Part3 瞬时速度、切线和微分

在物理实验中，我们通过滴答计时器来逼近某一时刻的瞬时速度，从而计算出极短时间内的平均速度 . 对应的几何解释是：求距离曲线在某一时刻的速度恰好是该时刻距离曲线切线的斜率，用平均速度近似就是逼近切线原理 通过割线。 这个极限的过程可以表示为：

或者可以简写为

例3.1。 设置距离-时间曲线，我们求出此时的速度，带入上面的公式：

初学者 暂时不用担心——如果求极限的时候分母最终等于0怎么办？ 事实上，极限不关心情况，只考虑过程中趋于某一常数的现象。 牛顿曾用“最终比率”来描述和概括它。 关于极限的理论严格基于实数公理，因为文章的字数读者只需要感性认识。 极限最重要的性质其实就是误差的可控性：虽然极限的过程和最终的极限之间总是存在误差，但是这个误差可以控制在任意小的范围内。 极限就像真理一样，虽然你不能真的向往！

更一般的，我们不仅仅考虑某一时刻的速度，还想知道每一时刻的速度，即速度函数。 中称为“微分函数”，简称“导数”。 有一个固定的公式列表用于查找函数的导数。 导数的求导方法同上例。

利用导数的性质，可以帮助我们计算更复杂函数的导数：

• p>线性：

• 莱布尼茨定律：

• 高阶莱布尼茨定律：

li>

复合函数推导：

• 反函数推导：

  ,

  前两个性质必不可少。 这些公式的证明可以通过极限的定义推导出来。 进一步，我们可以得到常用函数的推导公式，请读者一一验证：

• ，特别是

Part44 导数与泰勒公式

自从在中学学习了三角函数和对数函数，我自然会对这些“黑盒”函数值如何计算有一个想法？ 毕竟它们不像多项式函数那样透明。 这些函数可以用多项式函数表示吗？ 有了泰勒公式这个法宝，计算数学的大门就打开了。 正如我们前面提到的，导数是一个变量的函数的局部增长率。 当函数处处光滑时，我们可以使用导数来局部逼近原函数。 这个想法用一个公式表达出来，就是：

我们将一个不动点作为自变量。 实际上，我们使用一个函数来局部逼近附近的值。 并继续实现这个简单的想法，我们可以利用导数的导数来逼近导数本身，于是得到公式：

这是用二次多项式来逼近f(x)，所以 三倍，四倍……怎么样？ 于是得到泰勒公式：

对于多项式函数，这个公式不难验证：

正是，

利用欧拉公式，我们可以看出三个泰勒展开之间的关系（这个展开在复数领域也有效）。 特别地，我们只需要将about的级数代入上面的公式即可。

在物理问题（比如 单摆公式的推导），往往只需要一阶近似（即等价代入）。 “微元法”的合法性由上式保证。

例4.1。 (L’Hopital’s rule type) 令函数的一阶导数连续，则：

这个公式的前提是后极限存在。 此外，L’Hopital 定律也适用于该类型。

如果泰勒展开处处存在，则L’Hopital 定律显然成立：

例4.2。 人们在求比式的极限时，常采用等效无穷小代换法。 然而，草率的替换往往容易出错。 当分子和分母都是无穷小量时，如果对分子进行泰勒展开，应该展开到什么阶？ 这完全取决于分母是无穷小的多少阶。 比如要

，不能直接替换，而是要多展开一项，和分母一样。 结果是：

至于具体原因，我在知乎已经回答过了，扫描下方二维码可以看到。

无穷小等价代换解释