函数公式网 复合函数 复合函数和函数连续性

复合函数和函数连续性

复合功能和功能的连续性。 无关意味着这两件事没有太大的联系; 共性是指这两件事在我们身边反复发生,只是我们没有恰当地谈论它们。 何不来聊聊!

1. 复合函数

中学数学会引入很多函数,包括线性函数、二次函数反比例函数幂函数指数函数对数函数三角函数等,这些函数源于对一类变化规律的理解 真实世界的写照。 函数族非常庞大。 除了这些来自现实世界的函数之外,还可以在已知函数的基础上,通过一些特定的生成方法,形成许多新的函数,而且这种构造是连续的。

最容易想到的方法,当然是通过“计算”,就像通过两个数的加减乘除生成新的数,或者通过加减乘除生成新的数 两个或几个功能到一个新功能。 但是有没有更特别的方法呢? 大家可以回到函数的定义去想一想。

如下图,f:A→B是一个从数集A到B的函数,也就是说对于集合A中的任意数x,根据对应关系f,存在唯一的数u和 它对应于; g:B→C指的是从数集合B到C的函数,也就是说对于集合B中的任意数u,根据对应关系g,在集合C中存在唯一一个数y与之对应。

现在,经过f和g的两次对应,对于集合A中的任意数x,根据对应关系h,在集合B中有一个唯一的数y与之对应,所以h: A → C 是一个函数。 根据这个对应关系,y=g(f(x))。

这样构成的函数称为复合函数。 例如,函数 u=f(x)=1 和 y=g(x)=“复合”函数,即。 同样,将f(x)=,g(t)=这三个函数复合成函数,即

从复合函数的角度解决问题,往往能把复杂的问题简单化。

例如复合函数单调性的判断规则是“同增异减”,即当复合函数的内函数与外函数单调相同时, 复合函数单调递增; 当复合函数的内层函数与外层函数单调相反时,复合函数单调递减。 利用这个判断规则,对于函数,内函数f(x)=1在[0,∞)处单调递增,在(-∞,0]处单调递减;外函数g(u)=定义在 定义域是单调递增的,所以单调性是在[0,∞)处单调递增,在(-∞,0]处单调递减。

再举个例子,判断规则 复合函数的奇偶性是“有偶则偶,全奇再奇”,只要每一层中有一个函数是偶函数,那么复合函数就是偶函数;只有当 每一层的函数都是奇函数,复合函数是奇函数。利用这个判断规则,复合函数的奇偶性也可以通过判断构成复合函数的两个或多个简单函数的奇偶性得到。

可以说“复合”不仅是一种生成函数 是一种方式,复合函数也是pr ovides 一个非常好的工具来研究更多的功能。 至于复合函数的单调性和奇偶性判断规则的获取和证明,根据函数的单调性和奇偶性的定义,大家可以自己试试!

二、连续性 of functions

随着大量函数的出现,随之而来的一个问题,就是函数的连续性。 在函数发展初期,连续性不是大问题,因为公认的函数范围很小,很多定义函数的数学家都认为函数一定是连续的。 越来越多,一个函数是否连续已经成为一个非常重要和基础的问题。

看看下面的各种曲线,你认为哪些是连续的,哪些是不连续的?

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函数图像带来函数连续性的直观想法:如果函数的图像是一条不间断的曲线,那么函数是连续的。 但是函数连续性的严格数学定义并不是一件简单易懂的事情。 通俗地说,函数y=f(x)在x0点连续,即当x足够接近x0时,f(x)可以任意接近f(x0)。 此外,如果函数 y=f(x) 在区间 I 的每一点都是连续的,则称该函数在 I 处连续。

连续性是函数的一个非常重要的性质,并且函数 具有连续性更容易掌握和体验。 回想一下,如何绘制函数图像? 共有三个基本步骤:列出、绘制点和连接。 “连接”的最后一步是将绘制的点用平滑的曲线连接起来。 你有没有想过为什么可以直接画出没有描到的点呢? 这里用的是函数的连续性。 因为中学学习的函数类型大多是连续函数,所以可以不间断地连接起来形成一条线。

连续函数还有一些很好的重要性质,符合我们的直觉 . 举两个例子。

从直觉上来说,如果一条连续曲线要从x轴下方的一个点到x轴上方的一个点,那么这条连续曲线必须经过x轴

直观上来说就是:连续函数y=f(x)的图像至少有一个最高点和一个最低点。

这两个定理告诉我们,连续函数的零点特性和最大值存在于闭区间。 函数的零点可以用来研究方程,函数的最大值(极值)可以用来解决很多优化问题。 这些是函数在其他领域发挥重要作用的工具和基本特征。

当然还有更多的函数,有各种类型和属性。 利用它们,我们可以解释生活中的各种现象和其他学科和分支中的各种问题。 选择一个你喜欢的角度,探索函数的世界!

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