1。 复合函数
定义：假设函数z=f(y)定义在数集B中，定义函数y=ψ(x) 在数集A中，G是A中x的一个非空子集，使得y = ψ ( x ) ∈ B（如图1所示），即
G = { x ‖ x ∈ A, ψ ( x ) ∈ B } ≠ ∅ 。
对于任意 x ∈ G ，根据对应关系ψ ，对应唯一的y ∈ B ，再根据对应关系f ，对应唯一 z（如图1所示），即For any x ∈ G对应一个唯一的z。 于是在G上定义一个函数，表示为f•ψ，称为函数y = ψ ( x ) 和z = f ( y ) 的复合函数，即
( f • ψ) (x) = f [ψ ( x ) ] , x ∈ G , y 称为中间变量（如图2所示）。
注：函数y=ψ(x)与z=f(y)的复合函数常表示为z=f[ψ(x)],x∈G。
图(1)
图(2)
例1,
例1图
例2,(三 一个函数生成的复合函数）令u = √z , z = ln y , y = 2x 3 ，则u = √[ ln ( 2x 3 )] , x ∈ [ -1 , ∞ ] 。
二、反函数
定义：设函数y=f(x)定义在数集A中。
若对任意x1， x2 ∈ A, x1 ≠ x2, f ( x 1) ≠ f ( x 2) （或 f ( x 1) = f ( x 2) x1 = x2 ），则函数 y = f ( x ) 称为一- 在数集A中一一对应。
定义：设函数y=f(x)在数集A中一一对应，即只有一个x∈ A对任意y ∈ f(A)，使得f(x)=y，这是F(A)到A的新对应关系，称为函数y=f(x)的反函数，表示为
反函数图
定理1 , 如果函数y = f ( x ) 在数集A中严格递增（严格递减），则函数y = f ( x ) 有一个 反函数，反函数 x = f^(-1)( y ) 也严格增加（严格减少）。
反函数的性质：
1． 单调函数必须有反函数。 具有反函数的函数不一定是单调函数，比如反比例函数y = K/x ( K ≠ 0 ) ;
2。 奇函数不一定有反函数，如y = sin x , y = x – 1/x ； 当奇函数有反函数时，反函数一定是奇函数。
例如，反比例函数y=K/x（K≠0）的反函数仍然是y=K/x（K≠0）。
3. 偶函数不一定有反函数，例如 y = 1 , x ∈ { 0 } 。
反函数与原函数的关系：
1． 反函数的定义域为原函数的定义域，反函数的定义域为原函数的定义域；
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2. 互为反函数的两个函数的图像关于直线 y = x; 对称；
3. 如果原函数是奇函数，那么它的反函数也是奇函数；
4. 如果函数是单调函数，则一定存在反函数，反函数的单调性与原函数的单调性一致；
5． 如果原函数和反函数之间有交点，那么交点一定出现在直线y=x上或者关于直线y=x对称。
原函数y=f(x)和反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称
对称 图(1)
幂函数中原函数和反函数的图像关于直线y = x对称
(2)
指数函数与对数函数图(一)
指数函数与对数函数 函数图(二)
指数函数与对数函数图(三)
例3，
例3图
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