01 引言

在现有的三种复合函数求导方法的基础上，将复合函数看成是一种特殊的隐函数。 从而形成复合函数的五种推导方法。

02 复合函数推导的五种解法

课本上说第一种方法是把复合函数分解成简单的函数。 将复合函数分解为简单函数，需要将复杂的自变量设置为简单的中间变量。 借助于函数导数的定义，可以推导出复合函数的求导方法为：y对x的导数是y对中间变量的导数乘以中间变量的导数为 X。

第二种方法是从第一种方法的数学表达式出发，分析其本质的定性物理意义。 其本质含义可以概括为，复合函数的导数是其直接导数，再乘以复自变量的导数。

第三种方法是在导数列表公式中类似的导数公式后乘以x的导数。 因此，所形成的方程中的自变量 x 被标题中的复变量代替。 这个教科书上没有的方法你可以得到，这个方法是在实践中不断创新完善的。

第四种方法是把复合函数看成一个特殊的隐函数，这样对公式两边同时求导就可以得到x的导数。 含x的项直接求导，含y的项直接求，然后乘以y的一阶导数。 最后把y的一阶导数当作未知数来求。

第五种方法是隐函数推导的第二种方法。 通过将函数表达式右手化为 0，将左侧相应的代数表达式设置为构造的二元函数。 这样，y对x的导数为负的二元函数的偏导数就高于y的偏导数。

03 结论

复合函数推导的五种方法中，第三种方法是熟能生巧。 后两种方法是将显式函数看成特殊的隐式函数得到的。 后三种方法的获得是高度熟练的结果，充分说明了熟能生巧在数学学习中的巨大作用。

04 启示

复合函数求导的五种方法是相互关联，密不可分的。 五种方法虽然形式不同，但本质都是一样的。 前三种方法可以推广为复合函数求导，直接求导，再乘以复数自变量求导。 最后两种方法是通过将复合函数视为特殊隐函数而获得的。 隐函数的推导方法也是由隐函数的简单推导方法——显函数扩展而来。