本文通过一个例子来区分二维联合分布函数和复合函数的分布概念的区别。 我们先来看分布函数：

图1

看复合函数分布函数的概念：

图2

注意图1和图2积分的上限，计算F(x)时，上限为x，计算F(y)时，上限为y。 它的积分范围是一条直线。 对于分布函数，F(x)和F(y)中的x和y代表一个范围，它们是积分的上限。

再回顾一下二维联合分布函数：

图3

图4

图5

同理，联合分布函数F(x,y)中的x和y代表一个Range， 而本身就是融合的上限，它的融合范围就是一个区域。 然而，联合概率函数f(x,y)中的x和y都是固定值。

边缘分布函数：

图6

边缘分布函数F(x)与联合分布函数F(x,y)的区别在于 在前者中，y 是整个定义域，而两者的 x 都是一个范围。

边缘概率密度：

图7

上图表明，在边缘概率密度中，要么x固定，y为整个定义域； 或者 y 是固定的，x 是整个定义域。 也就是说，边缘概率密度的积分范围也是一条直线，这条直线要么固定在x上，要么固定在y上。

这个有点类似

一个是求某行的人数，一个是求某列的人数。

图8

复合函数的分布函数和概率密度：

图9

从上面的求解过程，我们 可以看出，求F(y)时，积分的极限应该用y来表示。

比较二维分布函数：

假设还

则

结果为0，因为y的积分极限 是从x^2到x^2，即x固定时，y的范围是常数。 从图9可以看出y=x^2是一条曲线，而F(x,y)需要面积，曲线的面积当然是0。

其实 ，在这种情况下，只要y和x之间存在任何函数关系，它的分布函数就是0。