很多人想知道复合函数是否存在凸性定律。 是的，这条法律确实存在。 但其局限性比较强。 只有当外函数单调递增并且外函数和内函数具有相同的凸性时，才能确定复合函数的凸性。

即：在外函数单调递增的前提下，如果内函数和外函数在各自对应的域上都是凸的，则复合函数是凸的； 如果内层函数和外层函数在它们对应的定义域中定义域为上凸下凸，则复合函数为下凸。 外层函数的定义域包含了内层函数的范围。 复合函数的域与内部函数的域相同。 下面，老黄就把它作为一道证明题来证明一下。

若f是I上的凸函数，g在J(f(I)⊂J)上递增，凸性不变。

证明 : g◦f 在 I 上具有相同的凸性。

解析：为了证明凸性，在定义域上随机选取两个点x1、x2和一个小于1的正数λ。 通过证明：如果任意两点之间的曲线是凸的，则任意两点之间的曲线在割线上方，如果是凸的，则任意两点之间的曲线在割线下方，由定义的不等式表示 .

证明：设x1、x2为I上任意两点，λ∈(0,1),

如果f是凸的，则f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2),

f(λx1 (1-λ)x2 ), λf(x1) (1-λ)f(x2)∈f(I)⊂J, g随J增加,

∴g(f(λx1 (1-λ)x2) ) ≥g(λf(x1) (1-λ)f(x2)),【如果g减小，则不存在以下递归不等式关系】

G在J上是凸的，∴g(λf( x1) (1-λ)f(x2))≥λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),

∴g(f( λx1 (1-λ )x2))≥λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),【这是两个不等式递推的结果】

即( g◦f )(λx1 (1-λ)x2))≥λ(g◦f)(x1) (1-λ)(g◦f)(x2),

∴ g◦f是上的凸函数 I.

若f向下凸，则f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2),

f( λx1 (1-λ)x2), λf(x1) (1-λ)f(x2)∈f(I)⊂J, g随J增加,

∴g (f(λx1 ( 1-λ)x2))≤g(λf(x1) (1-λ)f(x2)), [可能直观的感觉外函数是凸的时候单调递增，外函数是凸的 向下单调递减。 事实并非如此，无论是凸的还是向下的，都需要外函数单调递增，所以下面的递归不等式关系成立]

G在J中是上下凸的， ∴g( λf(x1) (1-λ)f(x2))≤λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),

∴g(f( λx1 (1 -λ)x2))≤λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)), [也是两个不等式的结果]

即(g◦ f )(λx1 (1-λ)x2))≤λ(g◦f)(x1) (1-λ)(g◦f)(x2),

∴g◦f 在 I 上 凸函数。

因此，无论f和g都是凸函数，还是f和g都是凸函数，只要g单调递增，就存在一个复合函数g◦f，其满足 的相同凸性。 证实！

结论：当外函数单调递增，且内外函数在各自域内具有相同的凸性时，复合函数具有相同的凸性。

示例：内函数 f(x )=x^2 在R中上下凸； 外函数g(x)=e^x在[0,∞)内上下凸，单调递增； ∴y=e^(x^2)是R中的一个凸函数，看看函数的图形，你能明白其中的原理吗？

如果你能解释y=e^(2x)的凸性，说明你理解了原理。

这次使用g(x)=e^x作为内函数，在R上是凸的； 其中f(x)=x^2，在g(x)(0,∞)范围内上下凸且单调递增； ∴y=e^(2x)是R上的一个凸函数。

也可以理解为f(x)=2x是一个内函数，在R上是一条直线，可以 可以理解为凸函数或凸函数，g(x)=e^x成为外函数，在R上是凸的单调递增的。∴y=e^(2x)是R上的下凸函数。 函数形象如下：

但是如果不能同时满足外层函数的单调递增，就和内外层函数的凸性一样，这两个必须的 条件，不能用这个复合函数的凸性规则来判断。 例如函数y=e^(-x^2)，它不能同时满足这两个条件，因此，我们不能用这个规则来判断它的凸性。 然而，我们还有其他方法来确定它的凸性区间。 这些方法老黄在其他著作中都有介绍。

不管什么样的知识，到了会用的人手里，都会非常有用。 不过，这条规则，应该有很多人应用不好。 因为它的适用性不是很广泛。 对于大多数人来说，可能只是用来加深对凸函数本质的理解。