深入解读反比例函数的图像性质

教材介绍

PEP数学九年级卷1第5章“反比例函数”第2节，在反比例函数的形象和性质中，课本列出了三个反比例函数y=2/x,y=4/x,y= 6/x，要求观察他们的形象，找出他们的共同特征（教材第150页），同时为了引导学生思考，提出三个问题：

(1) 函数图像分别在哪个象限？

（2）在每个象限中，随着x值的增加，y值如何变化？ 你能解释这是为什么吗？

(3)反比例函数的图像是否有可能与x轴相交？ 是否可以与y轴相交？ 为什么？

课程反馈

由于上节课练习了反比例函数的图形双曲线的画法，所以本节课的图形是学生在练习册上画的。 因此，我没有直接看课本，因为我想更加熟悉双曲线的特性。 手绘比亲眼所见更深刻。

在绘制过程中，为了方便同学们类比，建议在同一坐标系下绘制三对双曲线，如下图所示：

很快，同学们可以观察到第一个特征：当k>0时，双曲线在第一和第三象限，且关于原点中心对称，关于y=x轴对称； 那么，第二个特征：在每个象限中，y随着x的增大而减小，之所以被迫在每个象限是因为自变量x不为0。第三个特征：双曲线无限接近于 坐标轴。 这个特征是受到问题3的启发，毕竟是不是跟x轴和y轴相交有关，属于图形直觉。

根据教学要求，探索顺利完成，无论是课程标准中对反比例函数的要求，还是教学参考中对这部分内容的要求，都已经 都满足了。

课程标准要求：

教学参考第212页要求：

因此，当学生提出第四个特征时，就是逆的图 proportional function 深入理解图像，即k越大，双曲线离“中间”越远。

这是一个学生的归纳项，不太符合数学语言规范，但这个探索结果无论如何也不应该被否定，所以需要想办法对其进行数学处理。

同学的意思是k越大，双曲线离坐标轴越远，但是表达好像不对。 刚刚探索的第三个特征不是说双曲线无限接近坐标轴吗？ 为什么要远离？ 而事实上，如果你仔细观察它们，就可以确定一个比另一个“更远”。

首先要明确学生的认知范围。 初中时，距离的概念被用来描述数学中的距离。 初始距离是出现在两点之间的线段的长度。 与距离有关的概念都是在两点之间建立起来的，比如一点到直线的距离，从这一点到直线画一条垂直线段，这一点到脚的距离称为 点到直线的距离。 线与线之间的距离，即一条直线上任意一点到另一条直线的距离，即使在学习了圆之后，当点与圆的位置关系时，距离就是点与圆之间的距离 圆心等。基本上，从距离到距离，都归结为点之间线段的长度。

那么双曲线呢？ 参考原点或轴？

由于双曲线与坐标轴的关系无限接近，不方便描述。 因此，我选择原点作为参考，结合双曲线关于原点中心对称，也关于y=x轴对称，使得y=x的对称轴，如下图：

当k>0时，y=x，双曲线y=2/x，y=4/x，y=6/ X依次相交于A、B、C点。 从图的目测来看，OA<OB<OC，接近于刚才学生的描述意图。

所以，这个特征可以描述如下：定义y=x和反比例函数y=k/x(k>0)中的分支交点到原点的线段长度 第一象限是原点距离的双曲线。 此时k越大，双曲线离原点越远。

同理，对于双曲线位于第三象限的描述，遵循同样的标准，对于后续的k<0也适用。

中考真题

2019年湖北省宜昌市中考数学24题第一小题考直觉 图形。 原题如下：

我们看本题第一个子题和第二个空格，当双曲线y=k/x和正方形ABCD有四个交点时，如何理解 这个句子？

在本题图1中，我们看到k>0时的一种特殊情况，以此作为动态想象的依据。 当双曲线经过B点时，与正方形有一个交点，按反比函数图像的第四个特征是，当k增大时，双曲线离原点越来越远，对角线 题中正方形的BD只是y=x的一部分。 因此，当k>0时，只要k的值大于 过B点时只要小即可，所以0<k<4； 当考虑k<0时，只要k值大于通过A点（或C点），则-8<k<0。

虽然k<0时没有y=-x可供参考，但是我们可以做这条直线，借助双曲对称性观察一下，如下图：

教学反思

反比例函数的形象特点不必局限于教材。 双曲线到原点距离的描述仍然属于反比例函数的图像变化。 之所以没有在教材中明确概括这个图像特征，是因为初中生的理解水平，这个性质比较容易通过几何直觉得到，所以没有特殊要求。

但是，在平时的教学中，当学生面对老师提出的课堂探索要求时，大多会被一些人提出来。 这时候回避它们并不合适，而应该用更准确的数学语言来描述它们。 备课时还应充分考虑教材中提出的问题和学生可能的回答。 如果只让学生观察这三个反比函数的形象特征，学生的思维就不会受到太大的束缚。 如果他们针对课本上的三个问题提出问题，他们可能会失去探索这个特性的机会。

有没有提到？

我的回答是根据学业情况。 学生学习本章时，觉得自己精力充沛，所以在课堂提问时，可以不受课本的束缚，大胆地展开和拓展，引导学生找到本章。 feature，如果学生觉得有点吃力，首先要按照课本的要求完成图像属性的基本探索，经过一段时间的熟悉，达到探索要求，再选择习题进行扩展。

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