二次函数的三个表达式：
知识总结
二次函数的表达式有3种：
通式y=ax2 bx c(a≠0);
顶点公式y=a(x-h)2 k;
交点公式y=a(x-x1)(x-x2).
这三种表达方式各有特点，下面我们分别进行阐述。
1. 通式：
通式的表达式为y=ax2 bx c(a≠0)，其中a、b、c为二次项，一次项， 的系数有什么用 常数项 a、b 和 c？
1. a的符号决定了抛物线的开方向。 当a>0时，抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下。
2． 因为对称轴是一条直线。 如果a和b同号且0，则对称轴位于 y 轴的左侧。 因此，根据a和b的符号可以判断对称轴的位置：左同右异（即a和b符号相同，y轴左边 对称轴下a、b符号不同，对称轴在y轴右侧）。
3. 因为抛物线与y轴的交点坐标 -轴为(0,c)，抛物线与y轴的交点位置可根据c的符号判断：当c>0时，交点在y轴的正半轴上 y轴； 当 c<0 时，交点在 y 轴的负半轴上。 当c=0时，抛物线经过原点（0,0）。
2. 顶点公式：
1. 抛物线的通式y=ax2 bx c(a≠0)可以通过公式由顶点公式得到，令可用的对称轴为直线，代入顶点公式得到其纵坐标 固定点。 根据顶点坐标公式，可以得到对称轴为直线x=h，根据坐标的符号，可以观察顶点在哪个象限。
2． 平移抛物线时，最好将其转化为顶点公式，用左加右减法平移。 例如抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位得到的解析式为，即抛物线向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到的解析式为 . 需要注意的是，左右平移是在顶点的横坐标上加减，上下平移是在顶点的纵坐标后加减。
3． 利用抛物线的顶点公式可以解决实际问题中最有价值的问题。
三、交点公式：
1． 交点公式由抛物线与x轴交点的横坐标导出。 设抛物线与x轴的两个交点为A(x1,0)和B(x2,0)，则一般公式可转化为交点公式：y=a(x-x1)( x-x2). 反之，抛物线与x轴的交点坐标可以直接由交点公式得到。
2.根据交点公式可以快速计算出抛物线的顶点坐标， 将交点公式y=a(x-x1)(x-x2)代入即可得到顶点的纵坐标，且(x-x1)(x-x2)必须为相反数， 所以代入的时候，只需要代入一个因子，将两个因子乘积的相反数乘以系数，就可以求出顶点的纵坐标。 在二次函数的实际应用中，用这种方法求最大值（或最小值）是很方便的。 例如：
某商场以30元/件的价格采购了一件商品。 试销时发现该商品日销量m（件）和每件价格x（元）满足初等函数m=162-3x。
(1) 写出该商品在商场每天的销售利润y与每件单价x的函数关系；
p>(2)如果商场每天都想获得最大的销售利润， 每种产品最合适的价格是多少？ 最大销售利润是多少？
解： (1) y=(x -30)m=(x-30)(162-3x)
=-3(x -30)(x-54)
=-3(x-42) 2 432
∵-3<0,
∴当x=42 , y的最大值为432。
(2)省略
(原因：此二次函数与x轴的交点坐标为x1=30, x2=54，所以对称轴是一条直线，代入函数关系可以得到最大值。）
注：对于y=-3(x-30)(x- 54）求最大值，如果展开得到通式，再去公式，计算量比较大，但是用交集公式求最大值就简单多了。
方法：将二次函数的两个主要因子转化为y=a(x-x1)(x-x2)这种形式，代入对称轴求最大值。
经典例子讲解：
三、抛物线与直线的交点
中间 任意两个函数图像的截点可以结合两个函数的解析表达式，通过求解求方程的交点坐标。
例如求抛物线y=ax2的交点 bx c(a≠0)和x轴，因为x轴的解析式为y=0，所以同时有两个解析式，求解方程可以得到交点的坐标。 同时求解方程组，抛物线与x轴的交点其实就是方程ax2 bx c=0的解：
(1 ) 当△>0时，一维二次方程ax2 bx c=0有两个不相等的实根x1,x2，方程组有两组解，则抛物线与x轴有两个交点，坐标为A(x1,0),B (x2,0)，反之亦然。
(2) 当△=0时，二次方程ax2 bx c=0有两个相等的实根x1= x2，方程组有两组 同解，抛物线与x轴有交点。 此时二次三项式ax2 bx c是一个完全正方形，抛物线与x轴的交点就是抛物线的顶点。 反之，若抛物线的顶点在x轴上或抛物线与x轴有交点，则二次方程ax2 bx c=0有两个相等的实根，二次三项式ax2 bx c为a 完整的正方形。
总结：△=0，二次方程ax 2 bx c=0有两个相等的实数根，二次三项式ax2 bx c是一个完全正方形，抛物线的顶点在x轴上 , 且抛物线与x轴有交点, 同义。
(3) 当△小于0时, 一维二次方程ax2 bx c =0无实根，方程组无解，抛物线不与x轴相交。
扩展：求一条抛物线为y=ax2 bx c(a ≠0)和直线y=kx b(k≠0)，只需要结合两个解析式求解方程组。 二次方程ax2 bx c=kx b 解的情况是两个函数图形的交点，可以类比为抛物线与x轴的交点。 事实上，任意两个函数的交集都可以通过结合两个函数的解析解方程来求解。
经典例子：
已知抛物线和x- 轴交于A(1,0)和B(-4,0)两点，Y轴交于C点，AB=BC，求这条抛物线对应的函数表达式。
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