复合函数与反函数

1. 复合函数

定义：假设函数z=f(y)定义在数集B中，函数y=ψ(x)定义在数集A中，G是x在A中的非空子基 使得y = ψ ( x ) ∈ B 集合（如图1所示），即

G = { x | x ∈ A, ψ ( x ) ∈ B } ≠ ∅ 。

对于任意的x∈G，根据对应关系ψ，对应唯一的y∈B，再根据对应关系f，对应唯一的z（如图1所示），即 ，对于任何 x ∈ G，它对应于唯一的 z 。 于是在G上定义一个函数，表示为f•ψ，称为函数y=ψ(x)和z=f(y)的复合函数，即

(f•ψ ) (x ) = f [ψ ( x ) ] , x ∈ G , y称为中间变量（如图2所示）。

注：函数 y = ψ ( x ) 和 z = f ( y ) 的复合函数通常表示为 z = f [ψ ( x ) ] , x ∈ G 。

复合函数与反函数

图(1)

复合函数与反函数

图(2)

例1，

复合函数与反函数

例1图

例2，（三个函数生成的复合函数）设u = √ z , z = ln y , y = 2x 3 , 那么 u = √[ ln ( 2x 3 )] , x ∈ [ -1 , ∞ ] 。

二、反函数

定义：设函数y=f(x)定义在数集A中。

对于任意x1,x2 ∈ A，如果 x1 ≠ x2，f ( x 1) ≠ f ( x 2) （或 f ( x 1) = f ( x 2) x1 = x2 ），则函数 y = f ( x ) 称为一- 在数集A中一一对应。

定义：设函数y=f(x)在数集A中一一对应，即只有一个x∈ A对任意y ∈ f(A)，使得f(x)=y，这是F(A)到A的新对应关系，称为函数y=f(x)的反函数，表示为

复合函数与反函数

反函数图

定理1. 若函数y = f ( x ) 在数集A中严格递增（严格递减） ，则函数 y = f ( x ) 有反函数，反函数 x = f ^(-1)( y ) 也是严格递增（严格递减）。

反函数的性质：

1、单调函数一定有反函数。 有反函数的函数不一定是单调函数，比如反比例函数y = K/x ( K ≠ 0 ) ;

2.奇函数不一定有反函数， 如 y = sin x , y = x – 1/x ； 当奇函数有反函数时，反函数一定是奇函数。

例如，反比例函数y=K/x（K≠0）的反函数仍然是y=K/x（K≠0）。

3. 偶函数不一定有反函数，比如y = 1 , x ∈ { 0 } 。

反函数与原函数的关系：

1.反函数的定义域是原函数的定义域，反函数的定义域是 原函数的定义域；

p>

2. 互为反函数的两个函数的图像关于直线 y = x 对称；

3. 若 原函数为奇函数，则其反函数为奇函数；

4. 若函数为单调函数，则必有反函数，且反函数的单调性符合

5. 如果原函数和反函数的图像之间有交点，则交点必须出现在直线 y = x 上或与 关于直线 y = x。

原函数y=f(x)和反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称

合成 函数与反函数

对称图(1)

幂函数中原函数与反函数的图像关于直线y=x对称

复合函数与反函数

(2)

指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称

复合函数与反函数

指数函数与对数函数图（一）

复合函数与反函数

指数函数与对数函数 对数函数图(二)

复函数与反函数

指数函数与对数函数图(三)

例3,