1684年，德国科学家莱布尼茨发表了一篇题为“求最大值、最小值和切线的新方法，它也适用于分数和无理量，以及这种新方法的奇妙计算类型”的论文，是 历史上第一篇公开发表的微积分论文，意义重大。

1686年，莱布尼茨再接再厉，发表了微积分论文，定义了现代积分的符号。 至此，微积分从莱布尼茨开始形成一套科学理论，不再是某些人的专有技能。 很快这个划时代的发明震惊了数学界，牛顿也坐不住了。

1687年，英国科学家牛顿发表了划时代的巨著《自然哲学的数学原理》。

其实我们现在学习的微积分是属于德国数学家黎曼的贡献，叫做黎曼微积分。 其中，微积分又可分为：黎曼积分、勒贝格积分和反常积分。

1. 黎曼积分的局限性

黎曼积分的充要条件是：

充要条件

由式(1)不难看出，可积的必要条件是f有界于闭区间，因此无法处理无限区间的积分问题 和无限的功能。

除了无界无限区间问题，还有一类问题是黎曼积分无法解决的。 当不连续点的集合是一个非零的测量集，比如一组无理数，那么黎曼积分就不能用了。

例如狄利克雷函数在[0,1]上是黎曼不可积的。

所以黎曼积分的局限性主要体现在两点：

（1）。 要求限制积分区间，被积函数在积分区间上有界

(2)。 要求对不连续点集进行零测量（勒贝格测度）

2. 勒贝格积分的动机：解决第二类限制

本部分试图不失严谨地非正式讨论勒贝格积分如何解决第二类限制。

目前大部分理工科学生对黎曼积分都有一定的了解，而我们常说的定积分就是黎曼积分。 但是当我们谈论勒贝格点时，似乎有些玄妙。 正是因为我们不了解勒贝格点的难解和神奇。 有一些不正确的说法，比如勒贝格积分需要先学，勒贝格积分可以处理所有黎曼积分不能处理的问题，勒贝格积分可以治癌（开玩笑）。

本节的主要目的是打破一些常见的误解和勒贝格积分的奥秘，一些技术细节将被省略。

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分的本质是“除法-置换-求和-取极限”。 但是当遇到一些病态问题时，比如狄利克雷函数，分割这一步是无法完成的，因为永远不可能找到一个足够短的区间来描述一个无理数的长度，所以没有办法使用 矩形的面积来近似弯曲的梯形面积。

Dirichlet-like function

为了解决这类问题，勒贝格积分不划分定义域，而是划分值域，则f(x)在 [0,1]的积分转化为

勒贝格积分

此时引入下一个问题，

长度

如何计算呢？ ，这是测度论的起源。 我们省略这部分测度论的技术细节，直接假设我已经知道如何计算这个点集的“长度”。 假设函数μ，输入一个点集D，μ(D)可以输出一个数，这个数就像面积，长度，体积，用来描述大小，满足一些公理，比如

不 重叠联合

像微不足道的联合。

那我再告诉你，不管技术细节如何，[0,1]上有理数点集的“长度”为0，无理数点集的测度 是1，那么这道题就变得很容易了。

勒贝格积分非常有用，因为它解决了一类区间有界但不连续点集不为零的积分区间。 在勒贝格测度中，有很多非平凡的零测集，所有的可列集都是零测度的，甚至一些非可列集也是零测度的（康托集）。

这部分就到此为止，不再介绍更多的措施，但这并不影响大家对勒贝格积分解决的动机和问题的理解。

3. 异常积分的动机：解决第一类限制

异常积分非常普遍。 定积分就是在有限的区间内做积分，上下限已知。 所以它集成的原始功能只有一个，是确定的、唯一的。

不定积分就是在有限区间内做积分，但是上下限未知，所以原函数可以有无穷多个，是不确定的，不唯一的。

异常积分有两种。 一种是abnormal integrals over infinite intervals，就是在无限区间做积分。 第二个是无界函数的反常积分，即被积函数是无界的。

反正定积分可以推广到反常积分。 定积分之父黎曼说，积分必须满足有限区间和有界函数的原理。 然而，在他死后，人们发现无穷大的积分也是可以积分的。 人类已经定义了给定的积分，为了尊重他，他创造了一个新的概念：异常积分。

4. 三者的关系

应该不用说了吧，但是异常积分的名字Improper integral有点让人迷惑。 其实这是一种积分展开的技巧，用来处理无界或无限区间问题。 黎曼积分和勒贝格积分都有柯西展开。 把本科科学的反常积分称为反常黎曼积分的柯西扩张或黎曼积分更合适。 它和勒贝格积分完全是在处理两类问题，所以不要混淆。