学霸小明在参加数学研讨会时，被以下三个问题难住了。

有一个函数图像，你知道它存在，你知道它 长什么样子，就是画不出来？

有函数image，是周期函数，但不是常值函数，但是没有最小正周期？

有一个函数图像，处处不连续，处处不可导，在任意区间都得不到定积分？

您知道这三个问题的答案吗？

答案其实是一样的功能。 看完接下来关于魔法函数的介绍，你就明白了。

数学中有许多函数具有独特的属性和令人惊叹的图形。 选出几个有代表性的，一一说明。

1. 心形曲线。 函数的图形是心形的，非常浪漫。 据说理科生经常用它来向自己喜欢的女孩表白。 这种曲线的函数解析式或曲线方程有多种表示方法。

1. 二次曲线类型。 类似于x^2 –|x|y y^2 = 4，可以在|x|y前加一个小于2的系数，

例如x2 –1.3|x|y y2 = 4， 这也可以使图形的上部更加凸出。

当然可以继续变形，把方程变成更形象的不等式，17 x^2 – 16|x|y 17 y^2 < 225。不等式的阴影部分 是心形。

值得一提的是，二次函数的心形曲线成为了今年北京高考的一道答题题。 自考试以来，一直津津乐道。 具体试题如下，

2. 笛卡尔提出的极坐标方程r=a(1-sinθ)。 a可以取任意值，最简单的心形表示：r = 1 – sinθ。

有一个凄美的传说，笛卡尔曾给公主写过一封信。 信的内容就是这个等式。 只是，最后，笛卡尔并没有得到国王的庇佑，下场很悲惨。

3. 还有一个更简洁的表达式，极坐标中的r=arccos(sinθ)。 可以说是极坐标中最简洁的表达方式，就是用反余弦和正弦的复合。 函数图如下：

4． 心形图也可以升级为三维。 三维坐标系中的方程为：(x^2 9y^2/4 z^2-1)^3-x^2z^3-9y^2z^3/80=0。 在三维坐标系下，心形图更加生动逼真。

三维坐标系下的曲线方程

二、分离函数。 对应心形函数，它是在心形曲线的基础上推导出来的，在第一个心形解析公式中也加入了解析式，使得心形图中出现了裂纹。 据说可以作为理科生分手的信号。 曲线方程为：17 x^2 – 16|x|y 17 y^2 150/|5 x sin(5 y)| < 225.

三、黄金螺旋线，又称斐波那契螺旋线。 以斐波那契数列为边的正方形组成一个长方形，然后在正方形内画一个90度的扇形，相连的圆弧就是斐波那契螺旋线。 斐波那契数列的递推公式为F(n)n=F(n-1) F(n-2)。 通过数学证明可以得出，根据斐波那契数列所画出的曲线，第二个圆的半径与前一个圆的半径之比就是黄金分割数，这在艺术领域具有很大的美学价值 艺术，所以它也被称为，黄金螺旋。

金色螺旋有很多应用，苹果的LOGO就是一个典型的例子。 充分利用金色螺旋中的圆圈，即可组装出最终的苹果标志。

更详细的画法

第四，蝴蝶曲线。

极坐标方程为：

参数方程为：

若e约等于2.7，可得函数图像如下：

5、双螺旋曲线。 曲线方程和图像，如下图。

六、太极曲线。 通过下面的方程可以得出，

第七，狄利克雷函数。 这个函数就是开头提到的答案。 这个函数的形象不是很漂亮，但是它的本质很奇妙，解析式也很简单，只要你学过实数，就能看懂。 x为有理数时，函数值为1； 当x为无理数时，函数值为0。解析式如下图所示，是一个分段函数。

但是，稍微想一想就会发现，不管你怎么画，无理数和有理数之间有差距吗？ 例如，√2 与哪个数字相邻？ 仔细想想。 可以说，真实的图像只能被理解，而不能用语言来表达。 通过严格的数学定理可以看出，图像的性质处处不连续，处处不可约，不可能得到定积分。 明明知道它的样子，却画不出来。 下面画的图，当然不是很准确，只是感觉而已。

狄利克雷是数学史上第一个重视概念并有意识地“用概念代替直觉”的人。 狄利克雷函数的引入，标志着数学从研究“计算”向研究“抽象问题”转变。

美丽的世界，精彩的功能！