自从经典微积分诞生以来，处理的函数几乎都是那些连续可导的函数，因为实际问题中涉及到的函数几乎都是这样，最多只是在有限的几个点上是不连续的 （因此不可微分）。 久而久之，数学界形成了一种共识，即不可微函数等病态函数既没有必要也没有研究价值，但它们的存在破坏了数学的美与和谐。 但数学本身的发展往往表明，任何一个瑕疵都可能引发一场彻底的革命！

长期以来，在人们的想象和认知中，一个连续的函数除了个别的点之外，应该是可导的。 然而，爱吹毛求疵的“流言终结者”Weierstrasse在1872年构造了一个处处连续但处处不可微的函数，数学界震惊了，原来想象是靠不住的。

对于传统的黎曼积分，很难处理函数的无穷多个不连续点的问题。 Dab曾经证明，只要函数的不连续点可以包含在有限个任意小长度的区间中，那么这个函数仍然是黎曼函数。 人可以积累。 Dirichlet提出了著名的Dirichlet函数：

简单来说，就是：

狄利克雷函数的出现给传统的黎曼积分理论带来了致命的打击，因为它看似是一个非常简单的函数，但在黎曼积分的意义上却是不可积的。 然而，数学界仍然一如既往地执着于传统的积分理论。 他们仍然认为这是一种病态的、不健康的功能。 研究这些函数的人是吹毛求疵的老学究，是在玩脱离实际的数学游戏。 就连当时的数学领袖庞加莱也说：

“过去人们为了实用而创造新的函数，今天人们刻意创造一些函数，但能推导出的也仅此而已 从这些功能”。