每个工程师和物理学家都必须知道许多重要的数学运算符。 我们已经在之前的文章中讨论过背离和卷曲。 在这里，我们将尝试加深对拉普拉斯算子的理解，这是一个经常出现在物理问题中的算子。 但是拉普拉斯算子到底是什么，它与调和函数有什么关系？
简而言之，数学中的运算符是一个实体，它以一个函数作为输入，并给我们另一个函数作为输出。
假设我们有一个包含两个变量的标量函数，f = f(x,y)。
f = f(x,y)拉普拉斯算子定义为其梯度的散度 ，等于 该函数在笛卡尔坐标系中的二阶空间导数之和。
我们通常用来表示拉普拉斯算子的符号是del算子的正方形∇²或上三角Δ。
注意，这只是笛卡尔坐标系中拉普拉斯算子的形式。 当我们使用其他坐标系（如极坐标、柱坐标或球坐标）时，拉普拉斯算子的公式会发生变化。
因此，与其死记硬背所有这些公式 – 这没用 – 我们将专注于拉普拉斯算子背后的实际内容，它真正衡量的是什么。 当然，对于不同的坐标系，拉普拉斯算子的形式可能会有所不同，但其背后的直觉是相同的。 开始吧！
培养直觉
回想一下，标量函数的梯度是一个向量场，它指向函数图形最陡峭的上升方向。
如果我们处于函数的局部最小值处，则其梯度场的箭头将指向远离该点的所有方向。 如果我们处于局部最大值，它们都会收敛到该点，因为附近没有其他更高的点。
现在，回想一下矢量场在特定点处的散度 是衡量矢量场在该点上倾向于“展开”或发散的程度的量度。
现在，回想一下矢量场在特定点处的散度是衡量矢量场在该点上趋于“展开”或发散的程度的量度。
所以，回到我们的主题，我们之前将拉普拉斯算子定义为标量函数梯度的散度。 牢记我们上面所说的一切，很容易看出梯度的散度在类似于局部最小值的点处是正的并且非常高，而在类似于局部最大值的点处往往是负的并且很低。
如果我们稍微反思一下这个概念，我们会得出以下结论。
标量函数在某一点的拉普拉斯算子是衡量函数在该点的值偏离平均值的程度 它的邻居的价值。
如果某个点的拉普拉斯算子为正（负），则说明该点的邻居的平均值大于（小于）该点的值 .
例如，假设我们有函数 f = f(x,y) = yeˣ 并且我们在其图形上任意选择一个点。 使用拉普拉斯算子，我们首先考虑该点及其所有邻居周围的圆，并提出以下问题：“这些点的平均值是小于、等于还是大于我们选择的点值处的函数？ ”。
当然，所有这些概念也可以扩展到更高的维度。
与一维二阶导数的相关性
高中时我们学过单变量函数的二阶导数的符号与其凹性有关。 如果二阶导数为正，则函数上凹； 如果二阶导数为负，则函数向下凹。 这种关系背后的直觉与我们用来理解拉普拉斯算子的直觉相同。
在一个维度上，函数的符号二阶导数揭示了该点的值与其相邻点的均值之间的关系，就像拉普拉斯算子所做的那样。
因此，我们可以说拉普拉斯算子在一维上类似于二阶导数。
拉普拉斯方程和谐函数
拉普拉斯方程和热方程和波动方程 共同构成了数学物理中的三个基本方程。 拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，表明未知函数 f 的拉普拉斯算子等于零。
这个方程的解称为调和函数。
调和函数是拉普拉斯算子在所有点都为零的函数。
从我们目前讨论的内容来看，在调和函数的图中，无论我们选择哪一点，其相邻点的平均值都是相同的。 二元调和函数的一个例子是 f = f(x,y) = eˣsin(y)。 如果我们只关注函数的图形，这并不容易看出，但如果我们用代数计算它的拉普拉斯算子，它很快就会变得明显。
如果我们想在一维中找到调和函数的类比，我们必须寻找在所有点处二阶导数都为零的函数。 显然，满足这个条件的函数只有常数函数和线性函数。
一维常数和线性函数是调和函数，因为它们的二阶导数在所有点处都为零。
调和函数在物理学中的重要性
调和函数对于应用数学和数学物理非常重要，值得单独写一篇文章。 微分方程的整个分支——和一般的动力系统——都与调和函数的研究有关。 在这里，我们将仅提及与这些功能相关的几个有趣的点。
调和函数与平衡的概念密切相关。 仔细想想，拉普拉斯解实际上是热、波或扩散方程（没有源或外部压力）的平衡解。
简单来说，当我们在寻找平衡解时，我们要求微分方程中的所有时间导数都为零。
例如，在热方程的情况下，我们知道温度曲线随时间变得更平滑。 温度梯度和热通量的大小随着 t 的增加而减小。 当 t 接近无穷大时，传热过程达到收益递减。 不再有任何热能移动。
在数学意义上，这意味着给我们温度的函数的时间导数等于零。 由此，热方程t转化为拉普拉斯方程。
另一个需要注意的重要事项是，调和函数在物理学和工程学中也称为势函数。 势函数很有用，例如在电磁学中，它们将 3 分量矢量场的研究简化为 1 分量标量函数。
结语
在本文中，我们了解了拉普拉斯算子背后的直觉及其与调和函数的联系。 此外，我们将拉普拉斯方程视为类似于热方程和波动方程的平衡。 一步一步，我们将继续解开数学和物理世界的奥秘，成为更好的科学家。
