量子力学无处不在。 从地球上最小的角落到太阳的核聚变，这一物理学基础理论在我们对宇宙的理解发展过程中发挥了重要作用。 量子力学中有许多引人瞩目的定理和成果，但其皇冠上的明珠无疑是薛定谔方程。 虽然乍一看很复杂，但在这篇文章中我们将看到它的破译其实非常简单，其中的精妙之处大家都能理解。 开始吧！
量子力学的主要目的是在原子和亚原子粒子尺度上准确描述物体的物理性质。 在它被开发出来之前，每个人都期望这种大小的粒子的行为与经典力学中的物体非常相似。 然而，出乎所有人意料的是，这不仅不是真的，现实远比我们想象的还要离奇。
事实证明，亚原子粒子的领域本质上是不确定的。 这意味着我们永远无法确定亚原子粒子的位置——或者任何其他物理特性。 亚原子世界受概率支配。 这在当时是一个很大的启示。 我们的宇宙在基本层面上不是确定性的这一事实不仅引发了物理学界的争论，也引发了哲学界的争论。
埃尔温·薛定谔在 1926 年写下的薛定谔方程如下：
一些熟悉高等数学的人可能认识上面的部分或全部符号。
现在，上面的等式中发生了很多事情，但突出的一件事是希腊字母 Ψ。 这是通常用于表示波函数的符号。 但什么是波函数？
波粒二象性是所有物理学中最深刻的成果之一。 简而言之，所有物质都具有波状和粒子状两种特性。 这并不意味着例如电子也是波。 它是一种点电荷，但是在某些情况下，通常用于描述波的函数可以更好地描述它的行为。
好的，到目前为止已经足够好了。 亚原子粒子的行为存在一定的波动性。 但是波函数到底描述了什么？ 这是有趣的部分，也是量子力学一开始很难掌握的原因。 Max Born 在 1926 年提出了这个关键假设：
测量时，在给定点找到粒子的概率密度与粒子的大小有关 粒子在该点的波函数与平方成正比。
让我们分解一下。
薛定谔方程中出现的波函数本质上是一个以时间t和三个空间坐标x、y、z为参数的复函数。 complex 一词并不意味着“复杂”，而是在给定输入值时产生复数的函数。 因此，作为一个复杂的函数，一开始很难提出适用于现实世界的解释。 我们知道它不能描述一个粒子的位置或加速度，因为如果可以的话，它就是一个实函数。
其实要找个解释还需要一些时间。 但是后来，马克斯·玻恩提出波函数可能与概率有关的想法。 但概率是实数，因此他认为我们可以对其量级求平方——每个复数和函数都有量级——而不是直接将它的值与概率联系起来，以获得一个实数。 他是对的！
让我们回顾一下到目前为止我们所说的内容。
亚原子粒子的行为与经典物体不同。 它们同时具有波浪状和颗粒状的特性。 此外，描述这种大小的粒子的方程本质上是概率性的。 薛定谔方程中的波函数是一个函数，它在空间和时间给定点的值与粒子在该时刻存在的概率有关。 这有什么关系？ 其大小的平方为我们提供了在空间中的某个位置找到粒子的概率密度，即每单位体积的概率。
所以这就是波函数所代表的意思。 上过概率论课程的人可以预见它的某些性质。 首先，我们对归一化波函数感兴趣：
如果我们考虑一下，这是很直观的。 由于波函数幅度的平方——等于波函数与其在积分内部看到的共轭的乘积——给出了概率密度，那么我们需要总概率为 1——或 100% ——如果我们在整个空间中添加这些概率。
我们破解了波函数背后的奥秘。 现在让我们深入研究薛定谔方程。
薛定谔方程
为了方便参考，我们把方程的图片放在这里。
记住我们到目前为止所说的一切，薛定谔方程描述了概率波的样子、它们如何随时间演变以及它们在外部影响下的行为方式。 让我们一点一点地分解它。
从左边开始，我们遇到的前两个符号是“i”（虚数单位）和“h bar”（简化的普朗克常数） . 尽管这些数字本身非常重要，但它们对于理解薛定谔方程并不是必不可少的，因此我们不会在本文中处理它们。
我们遇到的下一项是波函数的时间导数。 时间导数本质上告诉我们事物相对于时间的变化有多快。 在这种情况下，波函数的变化有多快 – 另一种思考方式是“有多敏感”。
走到右手边，发现这个奇怪的H，上面有一顶小帽子。 这实际上称为哈密顿量。 对于那些不熟悉这个概念的人，简单地说，运算符是一个函数，它的输入不是一个数字而是另一个函数本身！ 他们将一种功能转变为另一种功能。 例如，我们可以将运算符 A 定义为接受任何给定函数 f = f(x) 并将其乘以 x 的运算符：
Af = x*f(x)
哈密顿量有一个稍微复杂的公式：
我知道它一开始看起来很可怕，但实际上很简单。 将得到的算子代入，写出薛定谔方程：
重要的是，你要理解的不是数学符号，而是哈密顿算子的本质。
哈密顿算子与我们系统中的动能和势能有关。
势能部分应该清楚了。 上述总和中的第二项实际上是 V(x,t)，它是施加到我们系统的外部电势。 不明显的是动能。 事实证明，求和中的第一项本身就是量子力学中与给定状态的动能相关的算子。
这里有很多细微差别，但它们对我们的目的并不重要。 您只需要记住哈密顿量与系统的总能量有关。
就是这样！ 我们基本上完成了。
薛定谔方程告诉我们，波函数——或者对于那些学过量子力学课程的人来说，量子态——是随时间变化的。 它的变化方式取决于系统的总能量——势能与动能。
结论
薛定谔方程是所有物理学中最著名的方程之一。 它使我们能够准确预测各种量子系统以及它们如何随时间演化。 然而，它的应用有一些局限性。 事实证明，对于包含大量粒子的系统，即使使用最强大的计算机，求解薛定谔方程也是极其困难的。 许多专家希望当我们发明量子计算机时，这个限制会被解除，但到目前为止，这个优雅的方程并不适合描述大规模的量子系统。
