波函数在量子力学中用来描述一切：有电子的波函数，原子的波函数，薛定谔猫的波函数等等。 在学习过程中，我们总会看到波函数中有很多奇怪的符号。 今天我们就来说说狄拉克符号。

在三维空间中，我们可以把向量想象成一个从坐标原点指向任意一点的箭头。 我们可以在这个空间中选择一个特别方便的基向量，通常是三个正交向量，长度都为1。这些基向量可以写成列向量，其中每一列有一个元素为1，其余元素为0 . 那么，我们可以把任意一个向量写成这些基向量的和，也可以把基向量前面的系数单独拿出来放到一个列向量中。

量子力学中的波函数就是这样一个向量，只不过它不是我们空间中的向量，而是称为希尔伯特空间的抽象数学事物中的向量。 波函数和描述空间方向的向量之间最重要的区别之一是，量子力学中的系数不是实数而是复数，因此它们通常具有非零虚部。 这些复数可以“共轭”，通常用星号上标表示，例如 z=x iy 和 z*=x-iy。 另外，在量子力学中，我们不写带箭头的向量。 相反，我们使用一些有趣的括号，如下所示：

这种奇特的符号是由狄拉克发明的，因此得名狄拉克符号，它有两部分：左和右：右箭头和左箭头。 使用 Dirac 表示法是一种跟踪向量是列向量还是行向量的便捷方法。 列向量用右箭头表示，行向量用左箭头表示。 在量子力学中，如果将列向量转换为行向量，还要取系数的共轭，如下：

此外，我们还可以结合这两种方法来表示标量：两个向量之间的内积是系数乘积的和，如下所示：

在量子力学中，所有向量都描述概率 . 通常我们选择空间中的基向量，使得基向量对应于可能的测量。 因此，特定测量结果的概率是对应于结果的基向量与波函数的内积的绝对平方。

由于基向量是除1等于1外只有0的基向量，所以波函数与基向量的内积就是非零项对应的系数，那么概率就是绝对平方 的系数。 这种从波函数推导出概率的方法被称为“Born 规则”，以提出该规则的 Max Born 命名。 我们知道所有测量的概率都等于1，也就是说所有基向量和波函数的内积平方和一定为1，如下图。

波函数和基向量的内积有时称为基向量上的“投影”。 之所以称为投影，是因为它是在与基向量对应的方向上投影完整波函数时得到的长度。 量子力学测量的问题在于，一旦你进行测量，将波函数投影到基向量上，那么波函数的长度将不再等于 1，因为获得该特定值的测量概率可能是 小于1。

我们还可以有另一种操作：波函数本身的外积。 此时，我们最终得到的不是一个数字，而是一个矩阵。 在量子力学中，这个东西被称为“密度矩阵”，我们需要它来理解退相干。