这道题的第一感觉是因为，对于波函数，我们观察到的是一个实数的概率分布，但是控制系统演化的波函数是一个复函数ψ(x,t)。 通常的说法（一般在教科书上）是波函数有一个无关紧要的相位因子，即U(1)规范自由度。 但是如果你真的回答，你肯定不会满意的（我也不会满意）~~那你是怎么理解的呢？

我们以最简单的自旋1/2系统为例，看看如何回答这个问题。 首先，对于自旋态的表示，对于一个自旋为1/2的粒子，它的自旋波函数是一个二元波函数

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其中μ和ν是两个数，我们先看看如果波函数一定是实波函数会怎样？

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【实波函数】

那么μ和ν是两个实数。 在这种情况下，根据波函数的归一化条件，我们知道必须满足

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那么我们可以看出，此时，只有一个 双分量自旋波函数的自由度（因为μ和ν原来的两个自由度减去归一化条件的一个自由度），那么我们知道自旋本质上是角动量，它描述了一个方向的角度动量 ，正如我们所知，至少需要两个自由度 (θ, φ)

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显然，实数波函数不能完全描述我们的系统。

[复波函数]

如果μ和ν是两个复数，我们知道一个复数有两个自由度，所以现在我们有四个自由度，并且 同归一化对反归一化的约束，我们实际上有三个自由度来描述波函数。

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同样，要描述一个角动量的方向，我们也需要两个自由度(θ, φ)，则有 一个自由度？ 是的，这个自由度就是规范自由度，一个描述波函数整体相位的自由度。 因此，我们可以看到，用实波函数描述量子系统会面临描述不完备的情况，而用复波函数描述量子系统会面临自由度越来越大的情况。 这种增加的规范自由度有任何物理意义吗？

限于篇幅，这里简单说几句，有兴趣的同学可以自行去wiki。 对于单粒子自旋系统，这个多余的相自由度实际上就是Berry相，是一个几何相。 最近流行的拓扑绝缘体和这个东西有关。 同样在超导和超流中，也是为这个相选择特定值的结果，即所谓的U(1)范数被打破。

总之，大自然似乎在带给我们未知的自由度的同时，也为我们打开了一扇通往新世界的大门~~~~