1801 年，英国物理学家托马斯·杨 (Thomas Young) 进行了一项简单的双缝实验，该实验表明光是一种波，因为它形成了干涉图样。 因此，在 19 世纪的大部分时间里，光被认为是一种波。 然而，在 1887 年，德国物理学家海因里希赫兹发现了一种叫做光电效应的现象，光可以将电子从原子中分离出来，这不是经典波的行为方式。

这两个结果似乎是矛盾的，光是波还是粒子？ 然后，在 1909 年，泰勒进行了双缝实验，一次只有一个光子通过双缝发射。 如果你通过双缝照射一个光子，你会在另一边看到一个点。 但随着越来越多的光子从狭缝中射出，一次一个，最终出现了一种类似于杨一百多年前展示的干涉图案的图案。 单个光子看起来像一个粒子，但一束光子在一起表现得像波，所以一个光子看起来既是波又是粒子。

这个实验后来用电子进行并显示出相同的模式，但人们对电子波的真正含义感到困惑。 我们可以理解水波，因为我们可以看到它们上下波动。 但是电子究竟发生了什么？ 这是一个谜。 在经典力学中，牛顿第二定律——力等于质量乘以加速度——对物理对象将采用的路径进行数学预测。 如果你知道它的初始条件，你总能找出一个物体的位置。 因此需要类似的电子波数学描述来显示电子的位置或它们的波函数的形状。

1925年，奥地利物理学家埃尔温·薛定谔揭示了这个波函数的形状。 它是牛顿定律的量子力学等价物，它可能是量子力学中最重要的方程。 与牛顿方程不同，它不是确定性的。 它不像牛顿方程那么简单，它会随着时间的推移而演变。 等式中的 ψ 是一个波函数，它给出了波的形状。 薛定谔自己也在努力解释这个波函数，他的解释是空间中电子的电荷密度。 但这实际上是不正确的，是行不通的。

1926年，德国物理学家玻恩发现ψ函数与概率有关。 他说它代表了在空间中任意一点找到电子的概率。 这个函数描述了电子在原子中的行为，它显示了电子如何占据某些轨道及其形状，这实际上是在任何给定点找到电子的概率密度。 除非你测量它，否则你只能计算出在任何特定半径处找到电子的概率。

最广为接受的波函数解释，即哥本哈根解释，是由量子力学的两位创始人维尔纳·海森堡和尼尔斯·玻尔开创的。 这种解释表明，该方程式告诉我们，在进行测量之前，电子同时处于所有潜在位置。 这个解释基本上是说波函数不是真实的东西，它只是描述数学概率。 唯一重要的是测量，这是了解粒子位置、能量或其他属性的唯一方法。 所以当测量发生时，我们说它的波函数已经“坍缩”，因为只有这样我们才能确定电子在哪里以及它的性质是什么。

当它被测量时，它的概率在你测量它的地方变成 100%，在其他地方变成 0%。 但是在测量之前您不会知道在哪里可以找到它。 如果你重复测量，你就不太可能在同一个地方找到电子。 这种所谓的“波函数坍缩”是量子力学的一个主要难题，没有方程式可以准确描述测量后这种坍缩是如何发生的。 这被称为量子力学的测量问题。